Montrer que : ∀(g, h)∈G2, g−1◦p◦g◦h−1◦p◦h=h−1◦p◦h

MPSI B DM 8 24 avril 2020

Cet exercice porte sur un procédé connu sous le nom de moyennisation d'un projecteur.¹ SoitE un espace vectoriel réel,F un sous espace vectoriel de E et G un sous-groupe ni (avecméléments) du groupe des automorphismes deE.

On suppose que le sous-espaceF est stable par les éléments deGc'est à dire que :

∀g∈G,∀x∈F : g(x)∈F.

À tout élémentudeL(E), on associeu⁺ déni par u⁺= 1

m X

g∈G

g⁻¹◦u◦g.

1. Montrer queu⁺ est un endomorphisme deE commutant avec tout élémenthdeG. 2. Calculer(u⁺)⁺.

3. Soitpun projecteur deE avecF = Im(p). a. Montrer queIm(p⁺) =F.

b. Montrer que :

∀(g, h)∈G², g⁻¹◦p◦g◦h⁻¹◦p◦h=h⁻¹◦p◦h.

c. Montrer quep⁺ est un projecteur.

d. Montrer que le noyau dep⁺est stable par tout élémentg deG.

1Exercice 1 de e3a 2001 MP 2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M0208E