− h = = − v = − 2 dhdt .g. ( h − z σS. )1 s h − − v = D = σ. 2 .g. ( h − z )1 2 .g. ( h − z )1 s s S ) .v + g.h =12 .v + g.z .v (1 − )= g. ( h − z ) 12( σS 12 σ σ.v B A S.v = .ρ.v + ρ.g.h + P =12 ρ.v + ρ.g.z + P 12 P A P B .ρ.v + ρ.g.z + P = Cste 12 AB

Problème I:osillateurs à relaxation

3 otobre 2013

1 Vidange d'un réservoir

1.1 lignes de ourant

A

B

1.2 Théorème de Bernoulli

Enrégime d'éoulements stationnaires on peutérirele longd'uneligne de ourant :

1

2 .ρ.v ² + ρ.g.z + P = Cste

Le premiertermereprésente l'énergie inétiquevolumique,ledeuxième l'énergiepotentielle volumique de

pesanteur et le dernierl'énergie volumique des fores pressantes.Dans le as du problème on peut érire

ette relation entre unpoint

A

P ⁰

B

pression vaut aussi

P 0

1

2 .ρ.v ² A + ρ.g.h + P 0 = 1

2 ρ.v ² B + ρ.g.z B + P 0

L'éoulement étant supposéstationnaire, ledébit en

B

A

S.v A = σ.v B

1 2 ( σ

S ) ² .v B ² + g.h = 1

2 .v ² B + g.z B

1

2 .v ² B (1 − σ ²

S ² ) = g.(h − z B )

D'où ontire les résultatsdemandés :

v B =

s 2.g.(h − z B ) 1 − S ^σ

D s = σ.

s 2.g.(h − z B ) 1 − ^σ S

1.3 Valeur de

.

h

.

h = dh

dt = − v A = − σ S .

s 2.g.(h − z B )

1 − S ^σ

Lorsque

σ ≪ S

σ ² /S ² ≪ 1

v B = p

2.g.(h − z B )

.

h = − σ S . p

2.g.(h − z B )

1.4 Appliation numérique

Ave les donnéesnumériquesde l'énoné(transformées danslesystème SI)on trouve :

D s = 1, 22.10 ^{− 3} m ³ .s ^{− 1} = 1, 22 L.s ^{− 1}

2 Inuene du siphon

2.1 Débit sortant

D _s

Pour aluler e débit il faut aluler lavitesse de l'eau dans lesiphon en appliquant le théorème de

Bernoulli. Pour ela il faut hoisir deux points sur une ligne de ourant dont on onnaît la pression. Le

plus simpleest deprendre

A

D

P 0

1

2 .ρ.v A ² + ρ.g.h = 1

2 .ρ.v D ² + ρ.g.z D + P 0 g.h = 1

2 v ² D + g.z D v ² D = 2.g.(h − z D )

D'où lavaleurde :

D s = σ.v D = σ p

2.g.(h − z D )

2.2

D s = S.v A = − S.

.

h = − S dh dt

dh dt + σ

S

p 2.g.(h − z D ) = 0

2.3 Durée de vidange

Onexprime

dt

dh

dt = − S

σ √

2.g . dh

√ h − z D

= − 2.S σ √

2.g . d(h − z D ) 2 √

h − z D

t 1 = − 2.S σ √

2.g [ p

h − z D ] ^z _h

d'oùnalement lavaleur de

t 1

t 1 = S σ .

r 2 g .[ p

h 0 − z D − √

z B − z D ]

3 Réservoir alimenté

3.1

Au débit de lasurfae libre du réservoir on ajoutele débit de la soure et on éritque la sommeest

égale audébit total en

D

− S dh

dt + D i = D s = σ. p

2.g.(h − z D )

3.2

Sionherhe une solutionstationnaire lasurfae libreduréservoirne bouge paset

dh

dt = 0

h S = z D + ( D i

σ ) ² . 1 2.g

Si

h S < z B

Lorsquelesiphon estdésamoré leréservoir seremplit ave un débit onstant et, tant que

h < z C

a

h = D i .t/S

3.4

Si

D i > D s

h = z C

nit par déborder. Il faut don que

D i < D s (h = z C )

D c = σ p

2.g.(z C − z D )

h

z C

le siphon s'amore et vide le réservoir ar

D i < D s

t 1

h = z B

désamore et le réservoir se remplit à nouveau pendant un temps

t 2 = S.(z C − z B )/D i

reommene.

3.5

h(t)

t z C

z B t ¹ t ¹ + t ²

La période desosillationsde relaxationvaut don :

T = t 1 + t 2 = S.(z C − z B ) D i

+ S σ .

r 2 g .[ √

z C − z D − √

z B − z D ]

3.6 Appliation numérique

Ave les valeursnumériquesde l'énonéon trouve :

D c = 6, 26.10 ^{− 4} m ³ .s ^{− 1} ∼ 0, 63 L.s ^{− 1} T = 1610 s

On peutnoter quele alulque l'onvientde faire onstitueun modèleélémentairedu

fontionnementdu vase de Tantale dont le nom apparaît dans la mythologiegreque.