1 / 2 ε> 0 NP ⊂ QP P ε> 0 P = NP H 1 / | V | P H 2 H H H = { G =( V ,E ): E ⊆ E } P H H H P G G P P P V P P G =( V,E ) V P P H B B H B H H =( V ,E ) V ⊆ V V H G =( V,E ) 3 / ( B +1) H = K K δ =min d ( v ) ν =( | V ( H ) | +1) /δ ( δ +1) / ( B +2+ ν ) B =m

! "#$% &

"'$

" (

)

$!

#

**

"

+,

(,-.

/0

!1

"! &

! "

2 -

*)

$!

&

'

3*

'$

-

+

3

#

""!

4

/ 56556 &

! " 7

38 9 :/;

'

<

=>>=?@

AB C D E

= C

@?=FG=FCH I

GB<CB J

HK J

BFA EL

>HK M

N

OP QRS TUR

V

WXW Y Z [\] ^

_

`a

H 0

^bc

dee f`dg h` i jkl md`fno V

Wp Y

\

q Z

rstuvW ] ^

Y ] w

x Z

uyY ZZ

rus ]\

x

pzp{u Z

z ]\

uq{Yy

^\

WvWYsstu|

\

p Y ]\

uqtY ]\

u

(δ 0 + 1)/(B + 2 + ν 0 )

^{}[^WtW}

B = max v∈V d G (v)

^}

δ 0 = min v∈V ( H 0 ) d H 0 (v)

^YqX

ν 0 = (|V (H 0 )| + 1)/δ 0

o ~W|

]

} [

W{

^

u [

] ^

Y ]

] ^\

{tY ]\

ut

\

{W {zs

]

u

3/(B + 1)

^{[^Wq}

H 0 = K 3

o 

\

qY ZZ

r

} [

Wstuv

\

XW

^

YtXqW {{tW {z Z]

{€ut _

`a

K 3

^bc

deef`dg h` i

jkl md`fno

‚

ƒ„…

S †Q‡ ˆ

sstu|

\

p Y ]\

uq Y

Z

‰ut

\] ^

p {Š‹uyY Z

{W Yt y

^

Š OŒ

x yups

Z

W ]

WŠŽY|

\

pzp {z



‰tYs

^

stu

Z

WpŠŽ

\

q

\

pzpvWt ]

W|XW Z

W ]\

uq

stu

Z

WpŠWtW X

\]

YtrstusWt ]

rŠ

‘ ’

“

”•–

H ₀

—˜™šš ›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

ݣ

'

¤ 3

"'

!

¤3

" ¥

¦

"§

!1

)

$

G = (V, E)

^{/ ¦}

¨ ¥

8

!

*

"!©

"

*¤

"

V ⁰ ⊆ V

^{" $ $ ! 3*'3 )$ ¥}

V ⁰

^{3" '!}

4 )

!

"

*¤)

$ ! "

)

$! '

H 0

/

¦

$

H 0 = (V 0 , E 0 )

^{! " ' '3 )$% ª ¦$}

¥

¦

"/

”•–

H 0

^—˜™šš›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

›£—

B

^{/¦! 3$ "! '!)$ "¦!$3 "}

¤* 33¤4

B

^%

”•–

H 0

^{—˜™šš ›}

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

›£—

B

^{! " ) ¥ )¤2¥! 4 !' * 3!}

$

"

'

3 «¬­®«¯«®°±¯²³±´ ¯µ¶·¬¸¹¸·º µ

»

³«´¼® ½¹¸·º¸³· ½¾

P

^{/ '4«¬­®«¯«}

´ ¯µ¶·¬¸¹¸·º µ

»

³«´¿

¥

"

) '!À'

)

$

))

4

P

^{/$8!*! 3*'3"*¤)$)¤¦!$}

"

) '

P

^'"! "

" !

À

3

!

/!

!1

)

$

G = (V, E)

^{/ " "*¤" ¥ 1! '"}

V ⁰

^"

$

$

)

$

V ⁰

^{! 3*'""! "À"}

P

^{% .1!¥!! " '""4/¦¦! ¥ ¦$" ¥"}

¥$

))

"

$

"

*¤

Á

'

3

""

*

$

))

4

P

^{! "$ 3!4/!%%/4!}

P

^{! ""! "À3}

¤4

G

^{/! "¦ ! " "! "À3¤44! 3*'3"*¤)$¥}

G

^{% &)4}

P

^{'¤'$'!©3¤4}

¥

¤

!

33

"

H P

3*)

¥$

!

!

)

$ "Â

¦

!$ "

) '

!

'

*

"!

Ã

$

3

"

! "¥

4

P

^§

$

)

$"

! "À

"

P

^{!¥ 34!¥!3"'!4)$¥}

H P

% #$ ¥ /

”•–

H ₀

—

˜™šš›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

ݣ

! ""

) '!

'

"

¥

$

8

!

*

"

*¤)

$

)¤

¦

$

$

¥

¤

!

33

"

H P

! "

3*)

¥"

*)

2 )

$ "$

'

!

H 0

Â!%

%/

H P = {G ⁰ = (V 0 , E ⁰ ) : E 0 ⊆ E ⁰ }

^Ã%

#$

8

!

*

"

*¤)

$

)¤

$

"

34¤3 ¦

!$ !

$

!

*

$

¤

!

2

!

¥$

ÄÅÆ

"/

¤4¤4 +

¦

! " ÇÈ É

3Ê

¨

¨! " Ç

9 ËÉ

¦

$

!

3) 3 43

$

1!

3 '

¥ !" ÌÍ

2

$

3

""/

" "

"

H 0

'

!

"

"

2

^{1! '"% #$ *$" $1 $ 2}

!©

3

$

!

"

* " !

+

¦

! "

3 Ê

¨

¨! " Ç

9Å É

/

!1!

$

)

¥

¥ $

8

!

*

"

*¤)

$

)¤

ÌÍ

2

$

3

""¥

4

$

3

!

4))

4

P

^{% #4" /+* 3 3ʨ¨! "Ç99É}

) 1

3

$

/

$

$

3 /

”•–

H 0

^—˜™šš

Ÿ ¡¢

™

•

ݣ

! "

))8

!

¤

¦

!$!

1/|V | ^ε

^/¥

4

ε > 0

^/*""

P = NP

^{3/ $ $ $ 3/$ 8!* "*¤)$ )¤ ! " )2}

)8

!

¤¦

!$!

1/2 ^{log 1 / 2 −ε |V |}

^{/¥ 4}

ε > 0

^/*""

NP ⊂ QP

^!¥

P

^{! "2!1! $ 3!4}

) ))

4

2

3 4 ) ))

4 3 4 ))

4 3

!

À

!

4

4 )

$ "

3

"

! "À

3 ¤4

!

À

!

4

4Ã

% Î

3 Ï

""

3

+

*

$

1

)

1

3

!

ÇËÉ

$

8

!

*

"

*¤)

$

)¤

! "

))8

!

¤¦

!$!

3/(B + 1)

^{/¦$! !ÇÐÉ!$"¤}

) 1

3

$

$! "

)¤

! "

))8

!

¤ ¦

!$!

O(log(|V |)/|V |)

^{% Ѥ1!*" 4/ $ " ¤* 3"}

$

3

¥

”•–

H 0

^{—˜™šš ›}

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

ݣ

%

Ò

8

3 ¦

!$

”Ó

H 0

^—ÔÕ

Ö

š™ ›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

ݣ

% ª '

"! ""

¥ À

3

!

!

!

*

1

8

"

*¤

"

$

!

"

'"

4

"

*¤)

$

H

^¦!$

|V 0 |

^{1! '"Ã¥}

G

^{'!!)! )$}

! "

)

$! '

H 0 = (V 0 , E 0 )

^{% ¥ 4/ ¥ ")'! ' '3 )$}

H 0 = (V 0 , E 0 )

^$

)¤

'

¤ 3

À

3

" ¥

¦

"§

!1

)

$

G = (V, E)

^{/ ¦ ¨ ¥ !!* "!©}

"

*¤

"

V ⁰ ⊆ V

^{" $/¥ 4 "*¤)$}

H

^¥

G

^{! ")$! ' ! $ "}

{G ⁰ = (V ₀ , E ⁰ ) : E 0 ⊆ E ⁰ }

^{/$ 8! "" 18}

v ∈ V ⁰

^{$ ¤"}

H

^{% #$! ")¤ "! " ")'! '" ¥}

)¤

'

3«®°®«¯«×³· ½³­ ± ³

»

³½®º° ½ ºº µ½ ¬®°´ ¯µ¶·¬¸¹¼® ½¹¸·º¸³· ½¾

P

^{¿¥$! "}

/

¦

¨¥

!

!

*

"!©

"

*¤

"

V ⁰ ⊆ V

^"$$"*¤)$

V −V ⁰

^{! 3*'""! "À"}

P

^%

Ñ '

"!

4

"

$

¦

$

$

¥

¤

!

33

"

H P

'$

'

!©!

$

$

3

!

4))

4

P

^{! "}

{G ⁰ = (V 0 , E ⁰ ) : E 0 ⊆ E ⁰ }

^{/ $ ”Ó}

H 0

^—ÔÕ

Ö

š™ ›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

ݣ

3

!

!

* 1

8

3

!

)¤

!

3

! '

%

”Ó

H ₀

—ÔÕ Ö

š™ ›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

ݣ

! "

))8

!

¤¦

!$!

|V 0 |

^/

¤4

¨!

3

¥

34

!

$

¦

$! '$ !©

"

$

Ø

2 ))8

!

!

!

$

¥

«®°®«¯«

׳· ½³­ ²º×³·¸·º µ

»

³«

Â

¦

$

H 0

! "

3Ã

4

' '

3 )

$

H 0

% #$! "

!$

'

"! ""

¥'

"

* '!

8

!

'$!

¥$

!

)*

2 )

$

3

¥

¨!

!

$

"

*

!

$

3)

!

"

¥

$

'$

33

"% #$

!©

!

¥

$

¤

1

!

$

'

¤

!

¥

4 3

"'

!

¤3

"§

"

!

¥

V ⁰ = ∅

^{/ ¦$! $ 8}! "" !

G

^"*¤)$

H = (V (H), E (H))

^{! ")$! '}

)

$

¥ "!©

|V 0 |

^'!!

H ₀

^/33

V (H)

V ⁰

³³

H

^¥

G

^{% ;*$ /3) 3!}

$

) )

4

P

^{/$ «®°®«¯«×³· ½³­ ± ³»³½®º°¸·º µ»³« ¤! "*¤)$ ¦!$}

))

4

P

^{Ã4 ¤ ))8!¤ ¦!$! " '"§ $! " ! "¤4* ¦$}

P

^3"'!¤"

À

!

*¤

¥

!

!

¥

¤

!

33

"

*¤)

$ " Â! ! "/¥

!

"

'

/$

'

"

¥ !

3

!

1

)

$ "

Ã

"

) 1

3

!

Ç

99 É

/

3 "

¦

$

P

^{' ¤ 8)""3 $*$ *!1" À" 3}

¥

*

1

$

)

$

3

"

*¤

"

" Â"

Ù

!

! "

3

#$

¨

* Ç

Ä É

Ã

%

ª

¦

$

¥

¦

"/

¦ 4

©

$

))8

!

!

!

'$!

1

3¤4 '

"

'$

))8

!

!

!$

"¥

”•–

H ₀

—˜™šš›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

ݣ

% #$! "

!

¥

!

"

'

I

^¥'¤!!

)¤

Π

^{3))8!! !$ Ú¥}

Π

^{! "3À 3¤4}

m _A (I)/ opt _Π (I)

^/¦$

opt _Π (I )

3

"$

1

*

¥

)

!

"

*

!

¥

I

³

m _A (I)

^{3"$1*¥$"*!')*3}

¤4 Ú

I

^{% #$ "* " ¤!3 !) 1 $ " ¥ ÇËÉ ¥ 4}

H ₀

^¥

δ ₀ > 3

^{% - ! ¦!$}

”Ó

H 0

^—ÔÕ

Ö

š™ ›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

ݣ

¦ )

1

$

!"

)

! '

*

'

"

/ '

3

”Ó

K 3

^—ÔÕ

Ö

š™

›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

›£—

B

^{/ ! " ÛÍÜ2')/ ¥ 4}

B ≥ 4

^{/ 1 !¥ $ !)* )$ ! "}

K ₄

^2¥

3 )4

!

/¥

4

B ≤ 3

^{% ;*$ /¦ "$¦ $ )4! ! !$ '}

))8

!

!

¦

!

$!

¤

$

24145/24144 − ε

^{/¥ 4}

ε > 0

^/*""

P = NP

^{% ;! 4/¦}

"$

¦

$

”Ó

K ₃

—ÔÕ Ö

š™ ›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

›£—Ý

! "

)4

!

% #$

"

"

* " '

¤ 8

33

"

$

'

"

¥

”•–

K ₃

—˜™šš ›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

›£—

B

^%

Þ ß

“à

ª

$! " "

'!

¦

"

* 34

$

¤

$

1!

¥

8

!

"

*

!

"/ '

)*

3 ¤4

* 34

!$

3 '

"

) 3

!

9

2

'

)

!

% (

* '$ "

*

!

" '

¤

"!

4 '

)*

3

§ "

!

¥

¦

"

"

*

!

3

!

!

!1

/Á

*

"

33 Â

3

''

3

!

$

)¤

à 1

! '

"/

"

" $

'

*

"

*

!

"

! "À

"

!1

))

4

% #$

1

34

¦ ¦

9

% (

¦

!$

V ⁰ = ∅

^¿

Ø

% Ò$!

$

8

! ""

v / ∈ V ⁰

^{"*'$ $ $ "*¤)$ ! 3*'3 ¤4}

V ⁰ ∪ {v}

^{3" '!}

4)

!

"

*¤)

$ ! "

)

$! '

H ₀

^/3

V ⁰ := V ⁰ ∪ {v}

^¿

Ð% Ñ

*

)*

V ⁰

^%

#$

!

2 '

)

8

!

4

¥ $! "

!$

! "

¤* 33

¤4

O(|V 0 |n ^{|V 0 |} )

^¦$

V 0

! " $

1

8

"

¥

H ₀

^%

áâã ã

äå æçè

å æé

êë

ìè íæî è ïð

H ₀

ª

$

"

ñ*

/

δ 0

3

B

^{¦! 3 $!!* 3}

H 0

3

$

8

!

*

3

G

^/

"

) '!1

4¿

¥

*

$ /

V (G ⁰ )

³

E(G ⁰ )

^{¦! ) " ¥ 4)$}

G ⁰

^{!" 18 3 3}

"

"%

Í

îæéæò ëêë

æ ï

áâã ó

¹³¶·³³±¾ ¬

»

¶º·® ½¹ «®´ ¬

δ 0 /(B + 1)

^ô¬¸¸·º­®«¬½®º°õº·

”•–

H 0

^{—˜™šš ›}

•

™—

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

›£—

B

^ö

Í

îææí â +

U ^∗

^{¤ )! "*! 3}

U

^{$ "*! ¥* 3 ¤4 $ 34 !$% Ò}

*

"

"!

) 3

! "'$

!

$

3

"$

¦

$

|U | ≥ (δ ₀ /(B + 1))|U ^∗ |

^{% Ò ""*}

B + 1 ≥ δ ₀

3

¦

""!

'$ 1

8

¥

U

^{/ ñ*!4 ¥ '$ ñ*}

(B + 1)/δ 0

% #$

3

! "'$

!

)

$

"

¨ "

"¥

¦

"§ !¥

1

8

v

^¥

U

^{$"3 "}

δ ₀ − 2

^!

U

^{/!¨)" !" '$¿}

$

¦

! "

/! "

3

"

4

¥!" !

$

¤

"

¦

$! '$! "!

U ^∗ \ U

^{8' 4}

1/δ ₀

^{*!" ¥ '$% #$/}

•

¹⁸

v

^¥

U ^∗ \ U

^{$" "}

δ ₀

^!$¤"!

U

^{¥3 "}

δ ₀ −1

^!

U

^{Â$¦! "/}

v

'

¤ 333

U

^{¦!$* ' ! ')4 ¥}

H 0

à 3

$

'

v

^{'!1" '$ ¥}

"

δ 0

!

$

¤

"

¿

•

¹⁸

v

^¥

U ^∗ ∩ U

^{¥3 "}

δ 0 − 2

^{¨)" !" '$¿$¦! "/! " 3""}

'$

"

B + 1−δ 0

!

$

¤

"

3

$

'

!

¦4

"¨

)

"

"

*

!

¥'$

%

Ò

$

1

¤

"

1

3

$

'$1

8

¥

U ^∗

^{$"À '$ " 3$3"! 3! ñ* !4}

¦

"!

4

¥

¦

"%

¤

#$

34

!$

'$

"

!

"

δ ₀ /B

^{! " ")'!}

H ₀

^{)!"/¥ !"'}

¦

$

H 0

$

"

*

!

ñ*

1

8

¥

3

δ 0

%

;

*

$

/

$! "

!

! "

"

'$

3¦

$

H 0 = K 2

H ₀ = K ₃

^{¿ $ ¥ '" *" $ ! 3) 3 " )¤ Â'"!3 $ ')}

¤

!

)

!

)

$

K _1,B

^{Ã/ ¦$! $ *" $ "'$ ¥ !2¥ 8!*}

"

*¤)

$%

Ò

'

Á

'

*

$

9

2

'

)

!

3

'$

!

δ 0 /B

^{! $ '" ¦$}

H 0

! "

' !

ñ* ¿¦

"$

¦

!

"

'!

Ø

%

Ø

$

*

$¥

*

""

¥ $! " '

Á

'

*

!

$

'

"

¥

!

"%

áâá ã

äå æçè

å æé

êë

ìè íæî

H ₀ = K ₃

Ò

""

*

!

$! ""

'

!

$

H 0 = K 3

¿

"

δ 0 = 2

^%

Í

îæéæò ëêë

æ ï

áâá ó

¹³ ¶·³³±¾ ¬

»

¶º·® ½¹ « ®´ ¬

2/B

^ô¬¸¸·º­®«¬½®º° õº·

”•–

K 3

^{—˜™šš ›}

•

™

œ •ž

Ÿ ¡¢

™

•

›£—

B

^{¬°± ½¹ ®´·¬½®º ®´ ½®¶¹½ö}

Í

îææí â

+

U ^∗

^{¤ )! "*! 3}

U

^{$ "*! ¥* 3 ¤4 $ 34 !$% Ò}

!

*

"

"!

) 3

! "'$

!

$

3

)

1

$

|U | ≥ (2/B)|U ^∗ |

^{% Ò ""*}

B ≥ 2

³

¦

""!

'$ 1

8

¥

U

^{/ ñ*!4 ¥ '$ ñ*}

B/2

^{% Ò "4 $ 18 $"}

®°± ³¸³°± ³° ½°³®¶¹µº·¹ºº±

!¥ !" !

$

¤

" !

3*

'

"

*¤)

$

¥

G

^'"! "!

4

¥ ! "

3

1

! '

"

/

!%

%/!

" !

$

¤

$

3

! "

!

3) 3

"

% #$

3

! "'$

!

)

$

"

¨ "

" ¥

¦

"§

1

8

v

^¥

U

^{¨)" !" '$ !¥! $" ! 3) 3 !$¤$3 !}

G

^{! ! "! "3}

1

8

!

U

^{¿$¦! "/! " 3"'$ ¥ !" !$¤" ¦$! '$! "!}

U ^∗

^{3 ¦$" !$¤$3}

! "

!

3) 3 /

'$

¥

1/2

^{% #$/}

•

¹⁸

v

^¥

U ^∗ \ U

^{*"¤!'!3¦!$ " ¦1! '" !¨3¤43!}

U

³

$

'

v

^{'!1" '$ ¥ "¦¥ !" !$¤"¿}

•

^{!¥ 18}

v

^¥

U ^∗ ∩ U

^{$" ! 3) 3 !$¤$3 ! ! " ! "3 18 !}

U

^/

$

! ¨

)

"!" '$

Â

¦

$! '$ ! "

"

*

!

ÿ

!¥

v

^{" 3" * 4'$/$ $}

!

$

¤

"

¥

v

^{' ¤ !' * 33 !}

U ^∗

^{Â$¦! "/}

v

^{¦!$ 3 ! !" !$¤$3}

¦*3

¥

!

!

U ^∗

^ÿ"/

v

^{" 3" * "}

(B − 1)/2

^{*!" ¥ '$ 3 $'}

!¨

)

"

" '$

¥

1/2

^{¿$$ $ 3/! '!1" '$¥ " ¥!"}

!

$

¤

" !

U

^{*"" !" !$¤"!}

U

^{$1! 3) 3 !$¤$3"¿!$}

'

"

/! "

3

"

*

"

(B − 2)/2

^{*!" Â'$18¦!$! 3) 3 !$¤$3}

¤

"

U ^∗ ∩ U

^{Ã 3 $*" ! ¨)" " *! ¥'$%}

;!

4 /

¦

$

1

)

1

3

$

'$ 1

8

!

U ^∗

^{$" À '$ " 3 $' $}

3

"!

3

!

ñ*

!

4

¥

¦

"%

;

!

$ ""

¥ $

!

/

""

*

G = (V, E)

^¦!$

V = {x 1 , x ₂ , y ₁ , y ₂ , . . . , y _B−1 }

³

E = {(x 1 , x ₂ )} ∪ {(x 1 , y _i ), (x ₂ , y _i ) : 1 ≤ i ≤ B − 1}

^{¿ "*'$ )$/ $ "*!}

U ^∗ = {x 1 , y 1 , y 2 , . . . , y _B−1 }

^{! ")!* ¥1*}

B

^{¦$! $"*!¥* 3¤4$ 34 !$}

! "

U = {x 1 , x ₂ }

^{¥ 1* Ø Â;!* 9Ã%}

¤

G

x ₁

x ₁ x ₁

x ₂ x ₂

y 1

y 1

y ₂ y ₂

y _B−2 y B−2

y B−1

y _B−1

U U ^∗

;!

* 9

§ .

8)

¥ !

$ ""¥

34

!$

%

÷ ß

øù

úûü

ª

$! ""

'

!

¦

"$

¦

$

¦

$

¦

!

$

1

"¥

"

*

!

!

$

¤

!

"

*

!

/

$

$

Ð

2

'

)

!

*

¥

”•–

H ₀

—˜™šš ›

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

ݣ

*

"

3

!ý !

!

max{(δ 0 + 1)/(B + 2 + ν ₀ ), δ ₀ /(B + 1)}

^¦!$

ν ₀ = (|V (H ₀ )| − 1)/δ ₀

^{% ; !"'/ ¦$}

H ₀

^{! "}

(δ 0 + 1)

^{' !ñ* Â!%%/}

H 0 = K δ 0 +1

à /

Ð

2

'

)

!

* '$

"

!

(δ 0 + 1)/(B + 3)

^{/ ¦$! '$ ! "}

"

! '

4 ¤

$

δ ₀ /(B + 1)

^{" " "}

B ≥ 2δ ₀ − 1

^{/ 3 ¤ $}

δ ₀ /B

^¦$

B ≥ 3δ ₀

^%

#$

Ð

2

'

!

$

¤

$

3

!

"

!

) 1!

!1

"

*

!

U

^{¤4 1! 18¥ !}

3 ¤433

!

¦ 1

! '

" ¥

V \ U

^{¿$*"/ 3!! Ð2' )!* ' ¤ 3"'!¤3/}

¥

”•–

H 0

^{—˜™šš ›}

•

™

œ •ž Ÿ ¡¢

™

•

ݣ

/

" ¥

¦

"§ "

!

¥

8

!

"

*

!

S

^{/ 1}

1

8

¥

S

^{3 33 ¦ $ "/ !¥ )}""!

¤ /

¨

$

"

*

!

8

!

/

3

"

%

#$

þÿ

! "

3*

$

¥

'

$

¦

!

'$

!

$

"

*

"

¥

Ð 1

! '

"%

Í

îæéæò ëêë

æ ï

âã

®´ ¬

(δ 0 + 1)/(B + 2 + ν 0 )

^ô¬¸¸·º­®«¬½®º°õº·

”•–

H 0

^{—˜™šš ›}

•

™

œ •ž

Ÿ ¡¢

™

•

›£—

B

^¼¹³·³

ν ₀ = (|V (H ₀ )| − 1)/δ ₀

^ö

Í

îææí â

+

U ^∗

^{¤ )! "*! 3}

U

^{$ "*! ¥* 3 ¤4 þÿ % Ò *" "!)}

3

! "'$

!

$

3

"$

¦

$

|U | ≥ |U ^∗ |(δ 0 + 1)/(B + 2 + ν 0 )

^{% Ò ""*}

B + 1 + ν 0 ≥ δ 0

3 ¦

""!

'$ 1

8

¥

U

^{/ '$ ñ*}

(B + 2 + ν ₀ )/(δ ₀ + 1)

^{% Ò "4 $}

1

8

v

^¥

U ^∗ \ U

^{! " ²·® ½®²¬»!¥/¦$¦ 33}

v

U

^{/$ ! " *!ñ* )$ ! ")$! '}

H ₀

^¿

$

$

1

! '

"

¥

$

'

)4

¥

H 0

Â

$

¤

U

^{Ã ' 3 ®°²®± ³° ½ '!! ' 18}

v

^%

¨ $

'

!! '

1

8

v

^{4 $1 !$¤" !}

U

^{$ $" !'!3 '!! '}

1

8

v

^{Â$ !$¤" ¥}

v

^!

U

^{*"!3 ¥ $ ')4 ¥}

H ₀

^{Ã% #$ 3! "'$! )$" ¨ " "}

¥

¦

"§

1

8

v

^¥

U

^{¨)" !" '$ !¥ ! $" 3 "}

δ 0 − 2

^!

U

^{¿$¦! "/}

1

8

v

^¥

U

^{" 3" '$ ¥!" !$¤" !}

U ^∗

^{Â8') $" ¥}

U ^∗ ∩ U

^{¦!$ 3 "}

δ ₀ − 2

^!

U

^{Ã '$ 3) 3! *)¦$$ ! ! " '!! ' ¿"/!¥}

v

^{! " !'!3 '!! '}

1

8

u

^{/ $}

v

^{" 3"}

u 1/δ 0

*

!

"

¥ '$

Â!

$

¦ 3

"/

v

^{" 3" '$ ¥}

1/δ 0

!

"

'

!! '

!

$

¤

w

^/¦$

w

^{! " "*'$ $}

v

^{! " '! 3 !$ *!ñ* ! ")$! '')4¥}

H ₀

^!

U ∪ {w}

^{ÿ$¦! "! " 3"!}

1/(δ ₀ + 1)

^{*!" ¥ '$%}

$

4 1

8

¥

U

^{! " !'!3 "}

|V 0 | − 1

^{'!! ' 1! '" "!'/ $}

$

3 / $

"

'

!! '

1

! '

" ¥

' !

ñ*

Â

¤4 '

!

) 1

à 3 /

$

$

$

3 /$

4

¤

U ^∗

^{% +*"8)!¦$4$'!! ' 1! '"!'!3}

u ∈ U

^{¥' !ñ* % +}

u ∈ U

3

w 1

3

w 2

¤

¦ '

!

! '

1

! '

" !

'!

3

u

^% ,""

*

$

(w 1 , w 2 ) ∈ / E(G)

^{% ª$! "}

'

"

(U \ {u}) ∪ {w 1 , w 2 }

^{3" '! ')4 ¥}

H 0

"!

'

$

8

! ""

*

!

ñ*

'

)4

¥

H 0

!

U ∪ {w 1 }

^{3 !}

U ∪ {w 2 }

^{")'!14% (/¦¤!'3! '! ¦!$ ' !)1}

3

¤4þÿ

% 1

/

4 1

8

¥

U

^{" 3"*"}

(|V 0 |−1)/δ 0 +(B −(|V 0 |−1))/(δ 0 +1)

*

!"

¥ '$

3

$

/ ! ¨

)

"

"

2/(δ 0 + 1) = (B + 2 + ν 0 )/(δ 0 + 1) − (|V 0 | − 1)/δ 0 + (B − (|V 0 | − 1))/(δ ₀ + 1)

^{*!" ¥ '$%}

Ò

!

"$

¦

$

$

À

'$

'

!1

3¤4

'$1

8

¥

U ^∗

^{! " " 9§}

•

¹⁸

v

^¥

U ^∗ ∩ U

^{¥ 3 "! ' 4 "" $}

δ ₀ − 1

^{¨)" !" '$¿ $¦! "/ !}

'

!1

"

'$

¥

"

δ 0 − 1

^{¥!" !$¤" 3$'/!"À '$! " " 9}

Â"!

'

/! $

" ¨

)

"

2/(δ ₀ + 1)

^{*!" ¥ '$ÿ! 33/}

v

^{3 '!1 "}

'$

¥

¥ !" Â

"

Ã

δ ₀ − 1

^{!$¤" !}

U

^{¿ ! )! '*/ ! '!1" '$}

¥

!

" !

$

¤

"!

U

^{¦$"3 !}

U

^{! " "}

δ 0 − 2

^{¿$$$ 3/}

v

^3"

"

3 4 '$

"

* '$ 1

! '

"

¿

•

^{2'!! ' 18}

v

^¥

U ^∗ \ U

^{'!1"¥ "}

δ 0 + 1

^{!$¤" ¥ !/}

1/(δ 0 + 1)

^¥

'$

¿