Régularitédessolutionsd’uneéquationparaboliquenonlinéaireavecdescontraintesunilatéralessurlafrontière J P D H B D V

A NNALES DE L ’ ^INSTITUT F ^OURIER

H UGO B EIRAO D A V EIGA

J ^OAO P ^AULO D ^IAS

Régularité des solutions d’une équation parabolique non linéaire avec des contraintes unilatérales sur la frontière

Annales de l’institut Fourier, tome 22, n^o4 (1972), p. 161-192

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Ann. Inst. Fourier, Grenoble 22, 4 (1972), 161-192.

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D^UNE ÉQUATION PARABOLIQUE

NON LINÉAIRE

AVEC DES CONTRAINTES UNILATÉRALES SUR LA FRONTIÈRE

par Hugo BEIRÂO DA VEIGA et Joâo-Paulo DIAS (1).

0. Position du problème.

Dans la suite on désignera par 0. un ouvert borné et connexe de R¹^ de frontière F, variété de dimension N — 1 et de classe C¹ (²), û étant localement situé d'un seul côté de F.

On notera par A( le cylindre û X ]0, t[, avec 0 < t ^ T < + oo.

En particulier, on pose A = AT.

Le point générique de Q sera noté x = (;2;i, . . . . Xy).

Avec {x, t) on désignera le point générique de A.

Ceci étant, soit (3)

?(0) = {^ e L2(Û)|D^ e L^i2), . = 1, . . . , N}, où D;^ == — au sens des distributions.

ô^

Avec

Vç/ = (D^, . .., D^), H Vç/UI^ = ^ II D^H^Q), 1=1

(1) Chercheurs du « Instituto de Fisica e Matemàtica » (Lisbonne).

(2) On peut affaiblir cette condition.

(3) On ne considère que des fonctions réelles.

9

162 H U G O BEIRAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

la norme usuelle de ?(£2) est donnée par

M^= IH1

L.(Q)+ jv^û).

Avec |K on désigne le convexe fermé de H^ti) défini par (0.1) |K = {u e ?(0)1^ ^ 0 (4) sur F}

L'espace des fonctions continues sur û et l'espace des fonctions hôlderiennes d'exposant a G ]0, 1] seront désignés respectivement par C°(i2) et C0'01^).

Si v e C°* "(Q) on pose

r -i l^(^) — ^(î/)!

Ma,û- supj V _ , j a

.c,yeû i^ yi .c^y

Si on se donne s e [1, + °°[ et un espace de Banach X on note avec L^O, T; X) Fensemble des fonctions t—>v(t) fortement mesurables de ]0, T[ à valeurs dans X telles que

MlLXT^^^II^IIx^)1^ + W

Si s = + °° on donne la définition correspondante habi- tuelle.

En particulier, si X = L^û), p ^ 1, alors l'espace I/(0, T; L^ti)) s'identifie avec l'espace L^A) des fonc- tions v(x^ t) réelles et mesurables en A telles que (en sup- posant p et s finis, sinon on fait les modifications évidentes)

(0.2) M|,,,A = (j7 (f^, <)i^r ^T < + °o

On pose

(0.3) V = {y e L^O, T; ?(0))^' e L^O.T; L2(Q))=L2(A)}

où ^{t) est la dérivée définie par

(0.4) ^ u'(()y(() dt = - ^ P(()y'(() dt, Vy e 3)(]0, T[) On a V c C°([0, TJ); L^Q)) d'où on peut définir pour ceV

(0.5) H^ = / max \Wh\û)Y + II V^(A)

VO-^t^T / (4) Au sens des traces sur P.

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION PARABOLIQUE 163

L'espace V peut s'identifier avec l'espace de Sobolev W(A).

On donne des définitions analogues dans le cas où l'on rem- place A par A(. L'espace correspondant à V sera alors noté ^c __

Finalement on désignera par (^'^^(A), a e ]0, l], l'espace des fonctions réelles v(x^ t) définies en A, telles qu'il existe une constante c telle que

(0.6) |^, t) - ^', (')| ^ c{\x - x\Y + \t - t^2),

V(o;, <), (^, (') e A.

On pose, pour chaque v e C^'^A), ,n 7^ ^ [^]a. a/2. A == int ^ vérifiant (0.6)

(u ) i l l l ^ l l l a . a / 2 , A= =I I ^ I . . A + M a . a / 2 . A (6)

Ceci étant on se donne p et s, 1 ^ p, 5 ^ + oo, tels que

»^^< ¹

4 ^ ^ < «

1 si N ^ 2 1 si N = 1 (0.8)

Définissons /o P^ l'égalité

(0.9) N«- + — = 1 - Xo^{N , 1 ,}+ l l - ^

JLp s

On notera avec po et 5o deux constantes définies par Xo J_

1 - = A +

po p N + 2xo P'

(0.10) 1

1 = J - +

,?o s N + 2/o ^

JCo.

où r' est donné par

^+—

¹ ••

(5) C0» a» «^(A) est un espace de Banach pour la norme |||.|||(K a/a A"

164 HUGO BEIRAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

On se donne aussi des fonctions réelles BK(^, t, y, z ) , k = 0, 1, . . ., N, définies en A X R X R^ mesurables en {x, t) e A pour tout (y, z) e R X R^^ et continues en (y, z) e R X R^ pour presque tous les {x, t) e A. On sup- pose encore qu'il existe des constantes positives a et a et des fonctions b, /, d, m, g, e, h non négatives et mesurables en A telles que pour tout (y, z) e R X R^ et pour presque tout {x, t) e A on a (avec z = (z^, .. ., ^), |z|2 = ^ zt) :

\ i==l / ,'1 N

(0.11) ' à Bi^5 tj y' z) ï z i ^ a^2 "" ^^ ^î/2 ~ f^ ^

|Bo(^ ^ y, z)l ^ ^, t)|^| + m(x, t)\y\ + g(^, ^) (0.12) [B^, <, y, z)| < d\z\ + ^, t)|yl + A(^ ^),

.=1, . . . , N.

Soit finalement u{x, t) une solution du problème suivant (0.13) u{x, ^ e ï )

et de plus

(i) pour presque tout t e ]0, T[ on a u(t) e K et f^u{t)^{x) - u(x, t))dx

+ S JQ B,(rr, ^, u, Vu). D^{x) - u{x, t)) dx

+ f^ Bo{x, t, u, Vu). {v[x) — u(x, t)) dx ^ 0 , V^ e K.

(ii) u(x, 0) = Uo(,x), où UQ est donnée dans L^ti).

Si l'on pose

N

^,B (^, t) = ^ B, (^, t, U, V u ) . C O S (M(^), ^)5 1=1

où n(^) est la normale extérieure à F au point x e F et

s == r x ]0, T[

alors on peut vérifier que (0.13) est une formulation faible du problème aux limites avec des contraintes unilatérales sur la

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION PARABOLIQUE 165

frontière défini par

N

u'{x,t) — S D,B,(^, t, u, Vu) + Bo{x, t, u, Vu) = 0 dans A i=i

u(x, t) ^ 0, 4'u,B (^5 ^) ^ 0, u(x, t), (rc, t) == 0 sur S, u(x^ 0) == Uo(rc) dans iî.

Nous démontrons dans ce travail les résultats suivants qui ont été annoncés dans [2] avec un aspect un peu simplifié :

THÉORÈME I. — Supposons que les hypothèses (0.11) et (0.12) sont wrifiéesa^ecb.f.m, ^^./^ÊL^A^geL^A) etque UoeL°°(û).

Alors u e L°°(A). De plus, étant donnée une constante c ^ 0 il existe c = c{c, N, û, T, a, p, s) ^ 0 telle que, si

max (||&||p,,,A5 ll/'lIp^.A? ll^llp,.,A? ll^llp.^A? llgUpo^o.Aî ll^olloo.û) ^ c

afor5

II ^11 oo, A ^ ^

THÉORÈME II. — Supposons que les hypothèses (0.11) et (0.12) sont vérifiées avec &, /, m, g, d?, e2, A2 e L^^ÇA) etque UQ e K n Co'x(t2)5 X e ]0, 1]. Alors il existe des constantes c ^ 0 et a e ]0, X], ne dépendant que de N, û, T, a, a, p, s et X, ^Me5 çue u e (^•^^(A) et, rfe pZu^,

(0.14) iiiuiiiâ.^A ^ ^K-]^û+ mp^A-

+B^llp..,A+ ll^lloo,Allgllp...A

•+Uu||l,A(i+ll&llp,.,A+'II^Hp,.,A+N2l1p..,A+II^Hp.,.A)}

Les théorèmes 1 et II seront démontrés a.vec la technique des troncatures introduite par E. De Giorgi (cf. [4]).

On utilisera dans ce travail des méthodes analogues aux méthodes décrites par 0. A. Ladyzenskaja, V. A. Solonnikov et N. N. UraFceva dans [6].

La majoration (0.14) est obtenue avec la technique utilisée dans [I],

Un premier résultat de régularité dans des espaces du type C ^ ^ ^ A ) , concernant les équa.tions linéaires paraboliques à coefficients discontinus, a été obtenu par J. Nash (cf. [9]).

166 HUGO BEIRAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

Des résultats du même type ont ensuite été étudiés par plu- sieurs auteurs avec des méthodes diverses.

Le problème unilatéral parabolique étudié dans ce travail a été introduit (avec un opérateur linéaire) par J. L. Lions et G. Stampacchia dans [8] (cf. aussi [7]). Des résultats de régularité hôlderienne pour les fonctions x —> u(x, t), défi- nies en tï, se trouvent dans [3] et [5].

Dans un article prochain nous étudierons les propriétés de régularité L00 et hôlderienne d'une solution plus faible (u e L^O, T; ?(0)) n C°([0, T]; L2^))) du problème consi- déré dans ce travail.

1. La régularité L00.

Le but de ce paragraphe est de démontrer le théorème I.

Soit k ^ ||^o II oo û e^ posons dans l'inéquation (0.13), (i),

( ^\-\k ^ sl U ^ k

^ == {uW = \ . . ,

1 v / ' (u si u ^ k

Intégrons l'inégalité obtenue entre 0 et te ]0, T[.

On obtient

(1.1) ^f^u.Çu- W)dxd^

kjr

+ 2 Jo'/û^^ ^ ^u' ^V")D^ - W} dxd^

+ ]^Q Bo(a;, T, u, Vu) (u - {»}") dx dr < 0.

D'autre part, puisque k > ||u(0)||^ ^Q, on a (1.2) ^ f^u .(» - {u}^ dx ^

= ^/Q (" - W . {u - W) dx dr

= -J- ||u - W^ = y l|(u - M'^lllQ.

De (1.1) et (1.2) on obtient, avec

uW == u — {u}" et Qfc(() == {(x, T) 6 At\u(x, v) > k},

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D ' U N E ÉQUATION P A R A B O L I Q U E 167

et compte tenu de (0.11)

^ II ^\t) |||û + a f^ | Vu|² dx rfr ^ f^ bu^ dx dr

+ fwf^^ + fw^^ ^ rfT

+ Jç „ m[ u[ u^ dx dr +Sw^dxd.

Ceci entraîne, puisque \Vu\du^ ^ -^-|Vu|2 +-2-^(u^)2, 2i CL

(1.3) ^- ||uW(t)|||,Q + -| ^ | Vu|^ dx d^

^ 2 /^ bW dx dr + 2/c^ f^ b dx JT

+^L^ ² ( ^u( ' ^t) ) ^2J ^ ^T

+JQ^ ^ ^dT + VQ^O) ^w ( ^uw ) ^{2 dx dr}

+ 2A'2 JQ»(O ^^dr+ f^ guW dx dr.

En appliquant cette inégalité à T e [0, t] et compte tenu que le second membre est une fonction croissante de t on obtient aisément

(1.4) |uW|^ = ^ H uC^r) H |,Q + f^ |Vu|2 d.r ^T

< 4 max (1, a-i) [^ 6(uW)2 d.r dï + k² f^ Q, dx dr + JQ»(O ^^{u(k) rfa;} ^ + JQ»(O /' ^da; ^^T ]'

ou

6 = 2(fc + m + ^-V 61 = 2(& + m)

\ ^a /

Posons

±=±(i_L\ J _ - ± / i _ A

p 2 ^ p/ . 2 V . (1-5) ^ ^ 2/o^ ^ g^^ ^^fi^ p^ ^ ^

ç = p ( l + x ) ; r = A ( l + % ) On obtient

(1.6) ^ + ^ - ^ - Jç r 4

168 HUGO BEIBAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

et aussi (remarquons que 0 < Xo < 1 si N > 2,0 < %o ^ ~rÇ si N = 1) "

^hd+x),^-^-}

N

+ x i_Lx)l

^(l+x),

NX J ^':

(1.7) N ^ 2

q e [2(1 + x), co],

"t4.4-^] ••

ce qui implique, en particulier,

N = 1

^j^N^r' ^r6 ] ² ' ^a ^ ^{si N} ^ ²

(1.8)

c e ]2, oo], r é [4, oo [ si N = 1

Étant donné (1.8) on peut appliquer à i^ l'inégalité (3.8) du chapitre II de [6]. On a alors

(1.9) l^llî.r,^ < PI^IA.,

OÙ

1

_

(3=Pi(N,r,r,î)+V^T^|^ 2

|Q| étant la mesure de û.

Cela étant, on va majorer les termes du second membre de (1.4) de la manière suivante :

fw^W^^ ^ lieUp^AlIWILr

}' 7 W &• S.' «'•">^{2 ) 2 ^} En effet on a

^ + A + 2 x ^ i = ^ + A + 2 ï p q q s r r D'autre part

11W"±, -L, Q^)

M^.Q.(O ^ P

!^!^

— 1 1 1 1 1 ² < f^lQI¹^²^

^é^^"" "M'

^"

Blll^ ^

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION PARABOLIQUE 169

Donc, on a

(1.10) f^QWdxdr < ueii^.A.M^TA.-^W^

On a aussi, avec A^(Ç) == {a; e iî\u{x, Ç) > k}, (1.11) ^ f^ Q, dx dr < ^1|6J|,,,,A Wp.^

=^l|9lll..,,A(/o< JA^Ç)!^-^)'

2.î±^

=^l|6lL,.A(Jot|A^)|r/^ç) r

(avec la convention 0° == 0).

Estimons les deux termes qui manquent. On a (1.12) L,fdxdr ^ l|/-t,,,Al|l|I^Q,(o

2 î±ï

=ll/•llp,*.A(JolA^)lr/^^) "

(1.13) f guWdxdr < l|gllp.,,,Alju<'t>l|^,Q,(,).^l||p,,,Q,œ î±Z

< lIgL.^A.Pi^lA^^IA^)!^^) r

^ ICmax^a-^) I^WIA.+ i6max(l.a^)^HgB^,A

2l±X

.(^IA^)!^^)

Supposons alors

(1.14) t ^ t, = [16 max (1, a-^J^^r^lûl^lie^^^

De (1.10) on en déduit

(1.15) J^/W^^^emax'd.a-^^^

Alors de (1.4), (1.11), (1.12), (1.13) et (1.15) on obtient

r a.^

^\uW\\, < 4 max (1, a-i) WA^.K(f\^W¹ ^)

/ /•( \2.1±^^

+(16max(l,a-l)p^gl[^,^+l|/•||^^)(J;^t(A^)|-/^ç) - J

170 HUGO B E I R A O DA VEIGA ET JOAO-PAIÎ10 DIAS

i.e.

l±X

(1.16) W^^^W^k^ t) r

i±y.

^^(lIglI^^A+H/'II^.A)^^ r

avec Ci == Ci(a), Cg == Ca(a, ^), . .. ,

.(k^^^^

^

(mes {Ç e [0;(]| |A,(Ç)| ^ 0 } si ^ = 0 0 Posons

ïi = ci||ej|^A, Y2 =^(11^,^:4- m^A), .

. ^ - . ^ À-e == |l"o|«,Q- • ' -

et soient l > k ^- ky. : Compte tenu de

(1.17) N^MI^-A

!> (jo'(^(ç)(" - ^^r^r ^- {i - w, t^

et de (1.16), on obtient

(1.18) (l - W, t)^ <^yiÂr[iA(/c, tY'^

+ ^W, t)1!^ Yl > k ^ k,, t 6 [0, to].

En raisonnant comme dans la démonstration du théo- rème 6.1 du chapitre II de [6], on en déduit qu'il existe une fonction y(Ç, N, i2, T, a, p , s) ^ 0, Ç e R+, qu'on peut sup- poser .yérifiant y(Ç, .) = -y(Ç, N, û, T, a, p , s) > Ç, telle que

(1.19) max(||e,||,,,,A, ll/'llp,.,4.; II^IA,*,,,AJ:,^^ . . , (1.20) , l | M o l l « , Q < Ç

entraînent

sup. ess., u ^ .<p(S, .^

" ^ 0 ^ • ; • • •: :' ' •! • '

On obtient de même, en raisonnant avec

• P = {M(()}, ^= max (u(<), A-), /c ^ — fluoll^Q.

"' . inf. ess. 'u ^ — <p(Ç, '.)

A,,

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION P A R A B O L I Q U E 171

et donc (1.19) et (1.20) entraînent

Ml oc. A<, ^ ?(S, .)

Travaillant d'une façon analogue dans l'intervalle [<o, 2<o], avec k ^ |ML,A<, ^ N<o)IL,Q et /c < — ||u||^A^ on obtient que (1.19) et (1.20) entraînent

NL.A^ ^ y[?(^ .), .]

Par induction, et compte tenu de (1.14), on arrive à démontrer complètement le théorème I.

2. La régularité hôlderienne.

Le but de ce paragraphe est de démontrer le théorème II.

2.1. Estimations a priori.

Supposons que les hypothèses (0.11) et (0.12) sont vérifiées avec 6, f, m, g, d2, <?2, h2 e L^A) et soit u e V une solution de (0.13), (i), (ii), telle que u e L°°(A) (6). Posons

(2.1) M = = M L . A

f^t) = b{x,t}W+f{x,t) (2.2) g,{x,t)=m{x,l)m+ g{x,t)

h^x,t) = e{x, t)U + h{x, t) On en déduit

(2.3) f,, g,, AÎ6L^(A)

/ N ' " " ! ' •• ' • . . -

S B,{x, t, u, Vu).DiU(x, t) > a|Vu(a;, ^|2 — f^{x, t) .(2.4) . \B,{x,t, u, Vu)| < d(^, <)|Vu(rr, ()| + gi(^ ()

'IB^, (, u, Vu)| ^ a|Vu(^()| +^t^ ( ^ , ( ) , l = l , . . . , N ,

^ pour presque tout (x^ t) e A

Dans la suite on désignera par k une constante telle que (2.5) ^ _ - M ^ k ^ M.

Ceci étant désignons p^r B(^o, R) .une boule ouverte de

(') II suffit, pour que cela soit vérrfié, que UQ eL^jû) fcf. le théor. I).

172 HUGO B E I R A O DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

R^ de centre XQ e il et de rayon R > 0 et par Ç(*r, t) une fonction réelle lipschitzienne dans R^ telle que

(2.6) 0 ^ HX, t) ^ 1 et support Ç c: B(a;o, R) X R Posons pour t e ]0, T[

(2.7) ^=u(t)-W\t) (où u^ = u — {u}^, {i^ = min (u, /c)).

Supposons encore qu'on ait

(2.8) k ^ 0 si B(^o, R) n F ^ 0.

Alors ^ e K p. p. en ]0,T[. Soient alors k vérifiant (2.5) et (2.8), ^ défini par (2.7), 0 ^ t < to ^ T. Compte tenu qu'on a ft10 SQ u(u - ^ dx dT == f^ fa WW) dx rfr

= -J- ||uW(^, T)Ç(^ T)|||,û|î° - p f (uW)^.Ç^ x dr on déduit de (0.13), (i),

(2.9) ¹

w^ ^T )^ ^iiiûi^ ⁰ - r ⁰ r ws.s' ^ ^

N î==i

S

+ S C foBi(a;, T, u, Vu)(Ç2D.uW + 2^)^) rfa; rfr

i=l •/ • •/ "

+^^00(3;, T, u, Vu)^) ^ ^T < 0.

D'autre part, compte tenu de (2.4), on a

(2.10) | ^ /Q^X, T, M, Vu^D.i^) dx dr

^a^f^u\^d:cdr

— f^ f^ fi dx JT, où Ak(-r) = {a; e Q| u(a;, r) > k}.

(2.11) 2 1 1 ^ ^ 1 ^ , T, u, Vu)|ÇuWlDiÇ| (^T

<2N[aJ;to/^|Vu|Çu(k)|VÇ| ^ J T +^%.)/l^u?lvçl dxd^

<2.12) J;"fQlBo(^T,Vu)|^uC.)^^

< r/A^^IV^IS2^!^^ +f;'f^g,Wdxdr.

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION PARABOLIQUE 173

et encore

(2.13) 2Na f^f^ | Vu|ÇuW| VÇ| dx dr

^ "r r° r ivi^

² ^^

+ 16a-W J;'0 ^ (uW)^| ^dx ^ (2.14) 2N J;'0^ AiSaW) VÇ| ^ ^

^ ^{N 2} r JA^) ^A ^ ² ^ ^JT + j;' ⁰ /A^) (" ^? ) ² l ^i ² ^ ^

(2.15) J;t o/^)( ^lv ul^"w^^

< -€- ? f I V u l ^ î ^ ^ + l ô M2^ r f d^dxd^

4 J' -'^W J< JA,(T)

(2-16) ^to fw ^uw dx d- < 2M f;- f^ g^ dx d.

On obtient de (2.9), (2.10), (2.11), (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) et (2.16)

(2.17) ^l|uW(^T)^,T)|l|^.

a r¹'¹ r

+ o - I {Vu^dxd-r

•" J t JA^I)

< max (2, lôa-Wa2, N2,16a-1)

[^/A^) Wd v^a + ^I^D ^^ + f^f^ OÇ2 ^^T]

où

(2.18) 0 — fi + Mgi + M2^ + A2 6 LP^(A).

Soit Qk((, fo) = {(a;, T) e A|( < T < (o, u{x, r) > /c}, p, s, y., q et r définis dans (1.5).

Il vient

( ² - ¹⁹ ) r/w^ ² ^^ w.^m^w

2(1-t-X)

^m^Aa^f^d^dr) r

si N et p sont différents de 1, ou

< m^(f^ww^d.)^

174 HUGO BEIRAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

si N = p == 1, puisque dans ce cas on a

q = oo, r = = 4 , comme il est aisé de voir.

Dans la suite on supposera pour simplifier (2.20) M ^ l et l|<ï>||p..,A < 1

A la fin de la démonstration on reviendra sur ce point.

Ceci étant on pose

(2.21) A^o, R; T) == {xeBÇxo, R) n Q\u{x, r) > k}

(2.22) Q^o, R; t, <o)

= {{x, T) e (B(n:o, R) n Q) x ]^, t^\u{x, r) > /c}

(2.23) ^o, R; (, (o)^ J/jAk(a;o, RÎT)!'-/»^ si g < oo

Î

mes <T e ]f, (o[| JA^, R; T)| ^ 0} si q = oo Alors, compte tenu du fait que ï,(x, r) = 0 pour a; ^ B(.TO ,R), on déduit de (2.17), (2.18), (2.19) et (2.20) :

(2.24) flu^, ^{x, (o)l||,A^.K;^

+onVu(^||JQ^a;^

< UuW(a;, ()Ç(a;, <)|||,A^B;,)

+4/Q^,B;^4)("('t))2(|V^12+S!^|)^^+^(^,R;(,(o)^l+lo]

où

c == c(N, a, a) En raisonnant avec ^ == u(f) — ^u^f),

"(fc) = u — {u}fc, {M}k == max (u, k),

k vérifiant (2.5) (ce qui entraîne ^ € K même dans le cas où B(a;o, R) n F ^ 0) on arrive de même à

(2.24') llu(^,(o)Ç(^<o)lll.A^,n;,.>

+ 0 II V M(fc)Ç H |, Q^ K ; t, (^ < II "(k)^ <) S (^î t) II I, A^., R ; (,)

+4/Q^,R.^(^))2(|VÇ|a+Ç|^)^T+^(.^,R;t,to)Aa+x)]

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION PARABOLIQUE 175

OÙ

A^, R; T) == {x e B(.Co, R) n Q\u{x, r) < k}

Q,(a;o, R; t, <o) - {(^ ^) e (B(a;o, P) ^ û ) x ] t , to[K^ ^ <^}

a f a . R - t o - S ^ ^ ^ ' R ; T)lr/î si q < 00

w 0' ' ")/ imes {T e ]t, <o[| |A,(.ro, R; T)| ^ 0} si q = oo En choisissant convenablement là fonction Ç on obtient à partir de (2.24) et (2.24') les majorations suivantes :

Soit pg < 1 une constante positive qu'on choisira au paragraphe 2.2. 'Posons

/ o o ^ / ^ ^min (dist C^»1")» Pô) si ^ e0

(2.25) p o ( ^ ) - ^ ^ ^ F et soient

(2.26) Q < fi < ( < <o < T, 0 < p ^ R <po(a;o) Alors on a, avec c == c ( N , a , a},

(2.27) max {{u^x, T)||I,A^.>P;X)

t^^T^^ '• .

< tit^X, (l)ll,A^.R;t.)

+c[(R-p)-²||u(^k)|||,Q^..R..,,;) + t x ^l + x )( ^ , R ; îi, <o)]

où k > 0 si ao e F

(2.27') max JlM^, T)|||A^p;T) : , .

(,)$T<(o «

• • < H"(k)(^ (^)UI,A^(d•„R;^^)'-

+C[(R-P)-²||U(,)|||,Q^,R;,,^

' -^(n-X)

+(l,'• (a,,, R; (i,(o)]

(2.28) W^,^

= max |lu('^t^,;T)|lj,A^p;x)•,+ lIVuC^llj.Q^.p.,,^

« T < t o

< c{[(R -pp + (t - ^ÎII^^III^.R;^

+(AI< l + 3 0(g,^R; (i, f o ) } , OÙ

/c ^ 0 si a;o e r

(2.28') |M(),)|Q^P;(^

^ c{[(R - p)-2 + (< - t^Mi^^^

+ (A^^^^o, R ; <1, <o)}

176 HUGO BEIRAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

(2.29) luCO^^o.o < \\uW{x, 0)|l|,A^,a;o)

+c[jR-p)-2||uW[|j,Q^o,o + (^^"Cro, R; 0, ()], où

k ^ 0 si a;o ^{e r} (2.29') lud^p^o < MX, O)I||,A^,R;O)

+^R-p)-2||u^||j,Q^,^o.t) -^f^10^, R; 0, ()].

2.2. Lemmes préliminaires.

Dans la suite on supposera N ^ 2. A la fin de cette sous- section on enlèvera cette restriction.

Compte tenu de la régularité de la frontière F, il existe des constantes p, 6 ]0, l], 60, OQ e ]0, 1[ telles qu'on a

(2.30) Wx,, p)i < \Q(x,, p)| < 9o|B(a;o, p)|, V^ e F, VP e ]0, po], où Û(a;o, p) = B(a;o, p) n Q

et aussi, si v e ?(0), A^o, p) = {x e Q(a;o, p)|^(a;) > A-}, A-j^, p) = {a; € û(^, p)|p(a;) < k} :

LEMME 2.0. (De Giorgi, cf. aussi [6], [1] et [5]). — Soit À < 1 une constante. Alors il existe une constante Po (w dépendant pas de v) telle que pour tout Xy e Q et tout

p e ]0, po(a;o)]

(po(a^>) défini par (2.25)) on a

(i) |At(a;o, p)| < ^jû(a;o, p)| •sss^

(2.31) {l - fr)|A,(a;o, p)| ^ Pop Jl^, p>-A,(«.,p) ! Vu(a;)| da;, VZ > A- (iï) |A,,(a;o, p)| < X|Q(a;o, p)| =^

(2.31')

(Z - /C)|A;(^, p)| < poP /A^,p)-A;(..,p)l v^)! ^ VI ^ lt,

(iii) a;o e F, p > ^ sur B(a;o, 2p) n F =^. (2.31') Ceci étant, revenons aux hypothèses de 2.1 sur la fonction

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION PARABOLIQUE 177

u et introduisons la notation suivante (2.32) A(^,p;^)=(B(;ro,p)nQ)

X ]<i, <2[(0 ^ <i < (2 ^ T) Dans la suite on représentera par c une constante ne dépen- dant éventuellement que de N, t2, T, a, a, p, 5. Sauf mention explicite, aucune constante introduite dépendra d'autres paramètres que ceux-là.

Avec une démonstration analogue à celle du lemme 7.1 du chapitre II de [6], on établit le lemme suivant, compte tenu des estimations (2.27), (2.27') et de la première partie de l'iné- galité (2.30) si XQ e F :

LEMME 2.1. — II existe des constantes 6 > 0 et b e ]0, 1[

telles que

(i) Si pour XQ e Q, p < po(^o)? 0 ^ ^ ^ T on a (avec k ^ 0 si XQ e F)

(2.33) |A,(^ p; <i)| ^ -|-|û(^, p)|

et NZ

(2.34) H == sup {u{x, t) — k) ^ p 2 (7)

A(ato.P;(^.(i-+-ÛFÎ)

alors

(2.35) |ûCro, p) - A^3/4H(^o, P; <)1 ^ &|^o, P)l, V( e [t^ t^ + Op²] n [^ T]

(ii) Si pour XQ e û, p ^ po(^o)î 0 ^ ^ < T on a (2.33') |A^o, p;ti)| < -1-112(^, p)|

et

(2.34') H' == sup (/c - u{x,t)) ^ p^

AC^Pî^.^-i-ôP¹)

alors

(2.35') |n(^o, p) - A^H^o, p; ()i ^ fc|Q(rro, p)|, V( e ^, (i + 6p²] n [^ T]

(7) Pour simplifier l'écriture on écrira sup. = sup. ess., inf. = inf. ess.

178 HUGO BEIRAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

Compte tenu des estimations (2.28), (2.28') on démontre le lemme suivant comme le lemme 7.2 du chapitre II de [6] :

LEMME 2.2. — II existe une constante 61 > 0 telle que (i) Si pour XQ e f2, p ^ po(^o)? 8p2 ^ k on a {a^ec k ^ 0 si XQ e F)

(2.36) | Q ^ o , p ; < o - e p ^ < o ) l ^ e i p ^

et (2.37) alors

(2.38)

^

H = sup ( u { x , i } — k ) ^ p2 A<a'o.P;to-eF'.<o)

M^ ⁰⁵ ^ ⁵ ' ⁰ " ⁶ ^)^ ⁰ )^ ⁰

(ii) 5i pour a ; o e Q , p ^ po(^o)? 8p2 ^ to on a (2.36') |Q^o, p; ^ o - O p², <o)l ^ eip^² et

. . . • . ^; NX

H' = sup {k—u{x,t)) ^ p 2

A(.co. P; (o-ep2.^) (2.37')

alors

(2.38') | Q_H72(^ P/2 ; (o - 9(P/2)², ^)1 ⁼ 0.

LEMME 2.2'. — Supposons UQ e L°°(û). Alors il existe une constante Q[ > 0 telle que

(i) Si pour XQ e iî, p ^ Po(^o)? 8p2 < T , /c ^ sup u(a;, 0) (ce çui entraîne k ^- 0 si Xç e F), on a Q(xof p)

(2.39) |Q^o, P ; - 0 , 6p2)| ^ 6,?^

et NX

H = sup (u(rc, t) — /c) ^ p 2

A^o.pîo'ep8)

(2.40)

alors

(2.41) |Q.+H/2^o, P/2; 0, e(p/2)2)! =0.

(n) 5i pour XQ e Û, p ^ po(^o)? eP2 ^ T, k < inf u(a;, 0),

û(œo, P)

on a

(2.39')

IQ^o, p; o, e.p2)| ^ e.p^

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION P A R A B O L I Q U E 179

et

NY

(2.40') H' = sup {k - u(x, t)) > p ²

- A^o.PîO,^*) ator^

(2.41') IQ^^o, P/2; 0, 6(p/2)2)| = 0.

Esquisse de la démonstration du lemme 2.2' :

Compte tenu des estimations (2.29), (2.29') la démonstra- tion est analogue à celle du lemme 7.2 du chapitre II de [6].

En effet, l'inégalité k ^ sup u(x, 0) entraîne la nullité du

Q(a-o, P)

premier terme du second membre de (2.29).

En travaillant avec (2.29) dans ces conditions, et avec un changement de coordonnées en t convenable, on achève la démonstration comme celle du lemme cité. Même raisonne- ment pour établir (ii).

LEMME 2.3. — I I existe un entier positif s^ tel que pour tout

(xo, ^o) ^ A, avec ÏQ > 0, et pour tout p tel que 0 < p ^ ^W,

6(2p)2 ^ <o, on ait ou cl

NX

(2.42) ose. (u; A(o;o, p/2; t, - 6(p/2)², (o)) ^ 2^p ² ou alors

(2.43) ose. (u; A(^o, p/2; t, - 6(p/2)², t,))

^ (¹ "~ 2^) ^osc- (u; A{XQJ 2 P ; to ~~ ^6(2P)S ^)) /a^ec ose. u == sup u — inf u\

\ A A A /^{A A A /}

Démonstration. — Si n?o e ^ 1^ démonstration est celle des lemmes 7.3 et 7.4 du chapitre II de [6]. Si Xç e F, étant donné le caractère unilatéral de la condition sur la frontière, on doit faire certaines modifications. La démonstration dans ce cas se fait comme suit :

Posons

^i == sup u(x, t),

AC.co^Pîto-^P)2,^)

(Jt.2 == inf u(x, t) -

A(a?o>2P;(o-6(2P)2, (o)

. = ^ - ^ i;=^-^=^--j-=^+^-

180 HUGO BEIRAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

Choisissons s^ entier vérifiant

(2.44) ».»3+i-

où 61 est défini dans le lemme 2.2 et c est une constante à préciser ultérieurement, dépendant seulement des paramètres habituels.

Supposons donc

^

(2.45) <o > 2sl+lp 2

Alors ou bien on a (2.46)

OU

(A < 0

(2.47) ( 1 ^ 0 Supposons vérifiée (2.46). Posons

l=V.2+

<0 (0

2<r+i

7 i w

k = ^2 + ^ cr ^ 1.

Comme Z < / C ^ ( J L < O , on a u(() ^ A* sur B(:Co? 2p) n F pour t e [tç — 6p2, <o] et donc, par le lemme 2.0, (iii) il vient

(2.48) — — A , ( ^ p; <)|< PoP f |Vu(o;, ()|^

z ^'2^1 | ^^(t)

avec

(2.49) W = A, (o;o, p; () - A' {x,, p; ()

• * 2<'+1 ^*'2<'+l

Intégrons (2.48) entre (, — ôp3 et fo» élevons au carré et appliquons l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

_^y r ⁰

2^ J,.-eF«

(2.50) A ' . , o , (a;o, P; t^dt

^"''î'+î 1

^+V .Vep.,

< ^2 (^ep.^,,!7^ ^l2^ dt) (f^^W dt) D'autre part on a

(

-

) X'op'J®,.!

^^

^^^ %+<

V 2^|A(.Ce,p;to-6p2,^

R É G U L A R I T É DES SOLUTIONS D ' U N E ÉQUATION PARABOLIQUE 181

Appliquons alors (2.28') avec k = pig + ~T)~>CO

2jt

R = 2p, <i = <o - 46p2, f = <o - 6p2. Il vient, compte tenu de (2.51),

(2-52) ^W^O)!^' ^dxdt

< c{[p-

+ (sep^-i] (^ + ^ - (x,y ^p^

. 46p² + [[•)ÎI,(2p)^N]^r/?4ep²]²/'•(^l+50}, où 'X.TS est la mesure de la boule unité de R'''.

Compte tenu de (2.45), (2.50), (2.52) et de (1.6) on en déduit (2-⁵³) |Q^(^ P; t, - 6pco ², t^ < c^f^\ 3)^)| dt

y+1

pour a e [1, «i — 1] (par exemple). Mais (2.54) | Q . . ( ^ P; < o - 6 p2, ^

^•'yi

^ Q^^(^ P; < o - 8 p_L-(^A«+ 2, ^o) pour CT e [1, Si -— 1] et donc, par addition, on tire de (2.53) et (2.54)

(2.55) (s, - 1) Q . , (rro, p ; t, - 6p^ t,)

^'yî

^ c^Q^.V = cp²^^

Alors par (2.44), il vient

iS.

(2.56) Q^^o, P; <o ~ ep2, <o) ^ e.p^

Par le lemme 2.2, (ii), on a, compte tenu de (2.56),

œ (a;, ()) (2.57) H ' = sup ^ + — ^ u ( ^

Ac^pîto-ep^io) \ 2^

ou alors

!a

< P2

(2.58) |Q'.^_H^, p/2; (o - 6(p/2)2, (o) ⁼ 0

1 ^*'2•^ 2

182 HUGO B E I R A O DA V E I G A ET J O A O - P A U L O DIAS

Supposons (2.57) vérifié. Alors il vient

(2.59) inf u(x, t) ^ ^ + ^ - - p ^

A(.Co»P/2îfo-6(P/2)2,to) 2^

> ^ + <>7Zp compte tenu de (2.45).

De (2.59), il s'ensuit qu'on a (2.43).

Si (2.58) est vérifié, alors on a

(2.60) inf u{x, t) ^ ^ + ^ - H/

A(a'o> p^îfo-ecpw/fo)AC-ï^. Oi'9.- t^—fif019\î ^^ /'"ï ? 2^ 2

^.4- "_9^+i puisque

H' < -œ- 2⁵¹ Donc on a aussi (2.43).

Supposons maintenant l'hypothèse (2.47) vérifiée.

Dans ce cas ou bien on a

,-(2.M) „ |A . ( ^ , p ; < o - 6 p 2 ) | ^-^lîl^p)!

^-y 2

ou alors

(2.62) A ^ ( ^ , p ; ^ - 8 p2) ^ -l-l^o, p)| : , '• • i^ ' •

Étant donné que ces deux cas se traitent d'une façon ana- logue, suppoàotté (2.62) vérifiée.

Posons

• . , — l . : ' • • ;,' pLg === - .-..inf ' u^^.h . ' ':• _ • •u..'. ,-• •; A^o.Fîfo-eF'.to)

Q * / . , ;t0< - 1 . ." ..,: :..: . ,

bi pt.2 ^ P'2 + TysTi alors il vient

ose. (u; A(^, p; ^ ~ 8p2, fo))^ ^ - ^ ^ (l - 0^)^'l.W?

ce qui entraîne (2.43).

Supposons donc ^ < pig -4- <),.:[ et posons

H^ ' [ ( i ^

s - ^ + ^ 2 + ^ -

R É G U L A R I T É DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION P A R A B O L I Q U E 183

On a, par (2.45),

H' > -œ- - û> > û) > 0'?

2^ 2^+¹ "' 2'^l+l pour ri e [1, s^].

Appliquons le lemme 2.1, (ii) avec

h = ^.2 + —— et ti = IQ — 6p2

il vient

f-)W\ l⁰^^{05 p)} - ^ 4 - ^ - 3 ^ 0 , ? ^ ) ^ 6|û(o;o, p)|,,

(2.bd) j ^⁺^ 4

V( e [>o—Op2 : <o]

Mais, puisqu'on a

' i œ A. T-r ^ i i<^ 3 < x ) _ , o)

ÎA2 -r 2^ 4 (A2 ' "^ ~~ T "y1" ~ ÎA2 ' 2^

^ . " ' .? ? , . • il s'ensuit de (2.63) que

Q(a:o, p) - A, , (0:0, p; 1)1 ^ &|iî(.ro, p)| ,

r a l2ÏW ' |

c'est-à-dire ? :

"'(2.64) J A . , ( ^ p ; ^ ^ (il.- &)JÛ(^,p)|

I p<+2':^ï«

Vî 6 [(o - Op²,^]

On peut donc appliquer à u((), t e [ty — 6p2, (g] le lemme 2.0, (ii); avec A- = ^ + -^— et ; = ^ + M

-.w, ^^/, *-. ^v- .^ —— (-g i ^^ „ —— [»2 I t),^'

^-ri + 2 e [3,'^4-2].

Ainsi avec a e [3, 5i — 1] on a (2.48) avec â%(() donné par (2.49) et cela, pour.tout ( e [tç — 6p2, to]. La démons- tration s'achève comme dans la première partie avec obten- tion de (2.43).

LEMME 2.3'. — Supposons maintenant UQ G\K r\ C⁰'^^),

(

X e ]0, 1] avec [uoj^û < 1 et soit y = min À, — ). AZor^

^ ercis^ un entier positif s'^ dépendant aussi de À, tel que/ 1

184 HUGO BEIBAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

pour tout XQ e Q ^ pour tout p ^ çu^ 0 < p ^ Ê0^0!, 07l ait ou

(2.65) ose. (u; A^o, p/2; 0, 6(p/2)2)) ^ 2^+lpx

ou aîors

(2.66) osc.(u; A(a;o, p/2; 0, 6(p/2)2))

^ ^"y^)0 8 0^ A(a;o? 2 P ; 0? 6(2P)2))•

Démonstration. — Posons

^ == sup u(^ t), (12== inf u(a;, t),

A^o. 2p ; o. 6(2F)1) A(^o. 2p ; o. e(2P)t)

— Ull + P'2 (0 > œ

(*> = (AI -- (A2, p. = t l ^ = (AI — -y- == (Jlg + -y

Choisissons s[ entier vérifiant

(2.67) 2^ ^ 4^X+1 (2.68) .1 > ^^a

où 61 est défini dans le lemme 2.2' et c' est une constante à préciser ultérieurement et ne dépendant que des paramètres habituels.

Supposons que (2.65) n'est pas vérifié. On aura alors, pour

X, X ' G Q[XQ, 2p),

\u{x, 0) - u{x, 0)1 ^ 4^ ^ 4^pï ^ ^i- pX < ^

4 4

compte tenu qu'on a

(2.69) <o > ^^pï ^ 2^1p 2m On peut donc conclure

(2.70) ose. (u(a;,0); Q^o, 2p)) < - ^ ce qui entraîne ou

(2.71) sup u{x, 0) ^ ^ ~ -^-

Q(a-o.2F) 4

ou alors

(2.72) inf u{x, 0) ^ ^ + -^

û(^2p) ^

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION P A R A B O L I Q U E 185

Supposons (2.71) vérifié. On a alors

\_^o, p; 0 ) 1 = 0 [AI == sup u[x, t)

A(^P;o,Qp1) Posons

Si

alors il vient

Ci)

^ ^ ^ - 2.T+1

ose. (u; A(^o, p; 0, 6p2)) ^ ^ - ^ ^ fl - ——\

ce qui entraîne (2.66).

Supposons alors ^[ > ^ — —^- et posons H = ^ - ^ - — , r , e [ 2 , ^(0

2'-- On a

(0

^-..ï

^î+l (O (0

H ^ -^ - ^ > 2^ > P 2 Par (2.69) Alors par le lemme 2.1 (i) on a, avec k = ^ — -œ-,

û(^o, p) - A^_^^^(^, p; t) ^ b\^(x^ p)[, V ( e [0, 6p2]

2r^ 4

(Remarquons que (2.71) et u[x, 0) e |K entraînent k ^ 0).

Etant donné que

,. œ |_ 3 TJ ^ û) 3 CO

t A l - -^+TH^ ^ - - 2 ^ + T 2 ^= = t A l

on en déduit, pour ri e [2, s^],

Ci) 2^+2

(2-73) ^-^-^(^o, P ; 0 ^ (1 - &)|û(.»o, P)|, V ( 6 [0, 6p2]

2'"<+2

Alors, avec /c = ^ - ^, Z = ^ - ^,

<. = r, + 2 e [4, ^ + 2],

on peut appliquer à u(t), t e [0, 9p2], le lemme 2.0 (i).

Ainsi, avec a e [4,^ — 1] on a

^•74) —— A (a;o, p ; () ^ PoP F I Vu(a;, t}\dx

- • 2'+i JSM)

186 HUGO BEIBAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

OÙ

3),(() == A _„ (a;o, p; t) - A _^(a;o, p; t), Vt 6 [0, 6p2]

• " 2 ° 2»+1

D'autre part, on a par (2.29), avec R = 2p et k = p,i — -^->

Jo^J^J

"!

^

^'^ll^o.ep

)

< c \ p-

^! - i.i+ -^Y ^ (2p)

e p^ + [[^ (2p)

]^e^]

w+îO] î

( \ " /

(puisque uW(a;, 0) == en Q(a;o, 2p) par (2.71)).

En raisonnant comme dans la première partie de la démons- tration du lemme 2.3 on arrive à

(2.75) {s[ - 4 ) | Q , . ^ ^o, P; 0, 6p^ < c'pW

^-îl ce qui donne, par (2.68)

(2.76) iQ,_oL(^ P-'^{fa) 0}' ^eP²)|^ ^P^²-

2s;

La démonstration suit comme dans le cas cité avec appli- cation du lemme 2.2', (i), pour k = ^ — -^ à la place du lemme 2.2, (ii).

Donc on a (2.66).

Finalement si (2.72) est vérifié la démonstration se fait d'une matière analogue et nous nous dispensons de l'indiquer.

Revenons maintenant au cas N = 1. D'une façon parallèle à celle employée dans le § 7 du chapitre II de [6] on peut adap- ter à ce cas la théorie développée dans cette sous-section.

Ainsi, en choisissant, par exemple, po = mm ^ 1, o — r on obtient encore les lemmes 2.3 et 2.3' pour N = 1.

Dans la suite on supposera donc N > 1.

2.3. Démonstration du théorème II.

Soit (a;o, <o) e A- Posons

(2.77) pi(^, to) == min (po(^o), y-^ si ^ > °-

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION PARABOLIQUE 187

Les lemmes 2.3 et 2.3" entraînent, compte tenu du lemme 5.8 du chapitre II de [6], les deux lemmes suivants :

i

LEMME 2.4. — Soit (XQ, tç) e A wec to > 0 et soit P ^ Pi(^o? to).

Alors on a

ose. (u; A(^o, p; to — 6p2, to)) < cpr5?8

où

^min(-log,(l-^),^).

c = 48 max (<»o, 2^ ^ Pi1?)

<»o == ose. (u; A(a;o, pi; fo — 6pî, <o).

LEMME 2.4'. — Supposons Mo «^K n C0'^), X e ]0, 1]

avec [uo]\Q < 1. 5'oienf Xy e Q e( p ^ po(a;o). Afors on a ose. (u; A(.to, p; 0, Opa)) ^ c'po-Pp?

ou

P == min (- log, (l - ^y ^ y = min (x, ^jc), _ c' = 4P max (œo, 2iî+l+^^pï),

(Oo = ose. (u; A(a;o, p; 0, 6pg)).

Donc, avec

c == c(N, Q, T, a, a, p, s, X)

a = min (8, p) = a(N, Q, T, a, a, p, .s, X) on a : THÉORÈME 2.5. — Supposons UQ e K n C^O•^(Q), X e ]0, 1]

awc [uo]^Q < 1. Alors

(2.78) ose. (u; A(a;o, p; t» - 6p2, <„)) < c max (/-^-, l) p«

VP < Pi^o» <o) -yi (iCb, <o) e A e( („ > 0, (2.79) osc.(»; A^, p; 0, 6p2)) < cmax('-^-, lV

\ PO /

Vp < Po(^o) ^ ^o e fl>-

188 HUGO BEIRAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

Sous les hypothèses du théorème 2.5 on a alors COROLLAIRE 2.6. — Si {xo, to) e A et to ^ 6po2 on a (2.80) osc.(u$ A(^o, p; ( o - 6 p2. <o)) < ^ VP ^ Po 5l a;o e îi on a

(2.81) osc.(u; A(^o, p; 0, 6p2)) ^ cp01, Vp < po.

Démonstration. — Commençons par établir (2.80).

Si XQ e F ou dist {xo, F) ^ po, (2.80) est une conséquence immédiate de (2.76). Supposons donc XQ e 0. et

dist.(aîo, F) = po(^o) < Po-

Soit y e F tel que po(^o) = dist.(.ro, 2/). Alors ou (i) Po(^o) < Po/2

ou

(ii) Po(^o) > Po/2

Dans rhypothèse (i) distinguons les trois cas:

(1.1) 0 < p < po(^o) < Po/2 (1.2) 0 < po(^o) < P < Po/2 (1.3) po/2 ^ p < po Cas (i.l):

On a, par (2.78),

(2.82) ose. (u; A(^o, Po; k - 9po, <o))

^ o s c . ( u ; A(y, 2po; ( o - e ( 2 p o )2, <o)

/ose. (u; A(y, po; to — Opo2, ^p)) A /<-. va

^ c max ( ———v—-————7^—————————> 1 f ^Po)

\ Po /

< CP?

(où c désigne une constante du type cité dans le théorème

2.5).

D'autre part, il vient aussi de (2.78), (2.83) ose. (u; A(a;o, p; (o — 9p2, (o))

^ c max /osc.(u;A(^,p^fo-ep§.^ A ^

\ Po /

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION PARABOLIQUE 189

De (2.82) et (2.83) on en déduit (2.80).

Cas (i.2) :

Par (2.78) il vient

ose. (u; A{xo, p; to — 6p², to))

< o s c ( u ; A(î/, 2 p ; to-QW, to))

< 0(2?)^ ce qui entraîne (2.80).

Cas (i.3) :

(2.80) est immédiatement vérifiée, puisque, dans ce cas, ose (^; A{xo, p; <o - BPS ^o)) < 2 < 2 f-^Y< cp⁰¹

\Po/2/

Dans l'hypothèse (ii) distinguons deux cas : (11.1) p ^ po(^o)

(11.2) p < po(^o)

Dans le cas (ii.l) il vient p ^ po/2 et donc (2.8) est immé- diate. Dans le cas (ii.2) il vient de (2.78)

(

ose (u; A{xo, p ; to — 6p2, to)) ^ c max —^, 1 ) p01

Pô / /

ce qui entraîne (2.80), puisque po(^o) ^ -~"•

Jj

La démonstration de (2.81) se fait d'une façon analogue en utilisant (2.79) à la place de (2.78).

COROLLAIRE 2.7. — Si (xo, to) e A et 0 < to < 6p§(^o) alors on a (2.80).

Démonstration. — L'hypothèse de l'énoncé entraîne

Pi(^o, to) = W-^ i-e., to == 6p2. Distinguons les deux cas

(i) 0 < p < pi < po (ii) 0 < pi ^ p < po

190 HUGO BEIRAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

Voyons le cas (i) : Par (2.81) il vient

(2.84) ose. (u; A(.Eo, pi; to - 6pî, to))

= ose. (u; A{xo, pi; 0, Op²)) < cpâ Mais, de (2.78) il vient

(2.85) ose. (u; A(a;o, p; <o — 9p2, <o))

^ c max (osc (M; A{xoî pl; ^fo ~ epî> to)), l)?' De (2.84) et (2.85) on obtient (2.80).

Voyons maintenant le cas (ii) : Par (2.81) il vient

ose (u; A(o;o, p; to — Op², („)) < ose (u; A(a;o, p; 0, Op²)) < cp². COROLLAIRE 2.8. — Si (a;o, (o) eA et Op^) < (o < 8po² afors on a (2.80).

La démonstration du corollaire 2.8 est analogue à celle du corollaire 2.6 pourvu qu'on utilise le corollaire 2.7 pour majorer l'oscillation dans les cylindres dont l'axe passe par le point y{y e F, dist (a;o, y) == Po^))-

Ainsi sous les hypothèses du théorème 2.5 on a (2.86) ose (u; A(a;o, p ; <o - 9p², <o)) ^ CP',

V(a;o, to) e A, Vp < po Soient {x, t), (a;', (') 6 A. Supposons d'abord

r, „ /lî-t'IV^i

max \\x— x |,1-1—Q—'-1 J < po- il vient de (2.86)

r- / | ( _ ('|\l/2-(«

|u(a-, t) — u{x\ t'}\ < c max |a; — a;'|, [——^—^l \ \

^ c d r c - r r ' l ' + l f - t ' l ^2) . Supposons maintenant

r /\f _ /'i\i/an

I i /i / 1 -' — ' ' I X I -^ f

max j|a; — a;|, I-1—^—'-l > po.

Il vient

r /\t —1'\ v/îi

| u{x, t) - u{x', t')\ ^ 2p'o-^a max \\x - x'\, [ ' - j ' - )

^ c d ^ — ^ l ' + l t — t ' l ^2) .

RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION PARABOLIQUE 191

Donc, on a _

ueC^^A), a e ]0, X]

et, de plus,

Ma,a/2,A ^ C,

où c et a ne dépendent que de N, û, T, a, a, p, 5 et À.

Pour achever la démonstration du théorème II nous allons maintenant nous débarrasser des hypothèses (2.20) et

[^o]x,û ^ 1.

Soit alors

û > = [Uo]x.Q+ ML,A+ IIW^A > 0

et posons

ù = (o-1^ Êfc(rr, (, y, js) == œ-^B^, t, coî/, œjs), /c == 0, 1, ..., N.

Puisque K == (*) K il est aisé de voir que ù vérifie (0.13), (i) avec les B^ remplacés par les Ê^.

De plus, on a, compte tenu de (2.4), et avec fi = ^A» gi = ÛÏ~1&L. hi = ^"^i ••

S B^, t, û, Vû).D^, t) ^ a\^ù(x, t^-f^x, t) 1=1

|Êo(^ ^ M, Vû)| ^ ^, ()|Vû(.r, t)\ +gi(^ <)

|B,(a;, ^ û, Vû)| ^ a|Vû(^, t)| + ^i(^ ^, ^ == 1, . . . , N, pour presque tout [x, t) e A.

Soit 0 = À + llûlkAgi + llûll^A^2 + ^î = œ-2^

II vient

Uo^û^eKnC⁰^) et max([ûo]x,û,l|ûll^A,ll^llp...A) ^ 1.

On en déduit, appliquant à ù la théorie antérieure : ( û 6 C°^(A), a e ]0, À] et [Û],^A ^ ^ ( où a et c dépendent de N, Î2, T, a, a, p, 5 et À.

Donc, on a u e ^^^(A) et

Ma.a/2.A < ^.û> = ^okQ + |1^||.,A + II^II^A)

ce qui entraîne (0.14), compte tenu de (2.2) et (0.7).

La démonstration du théorème II est ainsi complètement achevée.

192 HUGO BEIRAO DA VEIGA ET JOAO-PAULO DIAS

BIBLIOGRAPHIE

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Manuscrit reçu le 22 février 1972 accepté par M. BRELOT Hugo BEIRAO DA VEIGA et Joao-Paulo DIAS, Instituto de Fisica e Matemàtica,

Av. Garna Pinto, 2, Lisboa, 4 (Portugal).