PARTIE I
Notons A ( respectivement B et C ) l'événement A (resp. B , C ) réussit son tir à une épreuve donnée.
1. Calcul de probabilités.
a. D'après le cours :
P(U ∪ V ) = P (U ) + P(V ) − P (U ∩ V ) b. On cherche la probabilité de A ∩ (B ∪ C) .
P(A∩(B∪C)) = P ((A∩B)∪(A∩C)) = P(A∩B)+P(A∩C)−P (A∩B∩C) (d'après a)
= P (A)P (B) + P (A)P (C) − P (A)P(B)P (C) (par indépendance des tirs)
= 1 3 1 2 + 1
3 1 3 − 1
3 1 2 1 3 = 2
9 c. On cherche la probabilité de A ∩ (B ∪ C) . On trouve de même
P(A ∩ (B ∪ C)) = P ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) = P(A ∩ B) + P(A ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C)
= P (A)P (B) + P (A)P (C) − P(A)P (B)P (C)
= 2 3 1 2 + 2
3 1 3 − 2
3 1 2 1 3 = 4
9 2. Détermination de probabilités conditionnelles
a. Tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé, à chaque étape A vise B, B et C visent A. Le tireur C n'est pas visé et ne peut donc pas être éliminé avant A ou B.
L'événement AB n est donc impossible.
b. ABC n+1 ∩ ABC n est événement ABC n et A , B et C ratent leur tir à l'étape n . Par indépendance des tirs on a donc
p(ABC n+1 |ABC n ) = p(A)p(B)p(C) = 1 3 1 2 2 3 = 1
9
c. Comme, tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé à chaque étape A vise B, B et C visent A. L'événement BC n+1 ∩ ABC n est événement ABC n inter l'événement
" A rate son tire et B ou C réussissent leur tir à l'étape n ". Par indépendance des tirs on a donc
p(BC n+1 |ABC n ) = p(A ∩ (B ∪ C)) = 2
9 par 1b)
épreuve à 3
B ou C réussit 2/3
B et C échouent 1/3
A réussit 2/3
A échoue
1/3 2/3 1/3
Fig. 1: probabilités conditionnelles
De même
p(CA n+1 |ABC n ) = p(A ∩ B ∩ C) = 2 9
d. Si A, B, C ne sont pas éliminés, personne ne vise C, C ne peut donc pas être éliminé. D'où
p(A n+1 |ABC n ) = 0 et p(B n+1 |ABC n ) = 0 Comme dans la question précédente
p(C n+1 |ABC n ) = p(A ∩ (B ∪ C)) = 4
9 par 1c)
e. Si à une étape il reste A et C alors A vise sur C et C vise sur A. L'événement A n+1 ∩ CA n est donc l'événement CA n inter l'événement "A rate son tir et C réussit son tir à l'étape n ". Par indépendance des tirs, on a donc
p(A n+1 |CA n ) = p(A ∩ C) = 4 9 De même
p(B n+1 |BC n ) = p(B ∩ C) = 1
3 p(C n+1 |CA n ) = p(C ∩ A) = 1 9 et
p(C n+1 |BC n ) = p(C ∩ B) = 1
6
f. On a toujours, si A, B, C ne sont pas éliminés, personne ne vise C, C ne peut donc pas être éliminé, d'où
p(∅ n+1 |ABC n ) = 0 D'autre part,
p(∅ n+1 |BC n ) = p(B ∩ C) = 1
6 p(∅ n+1 |CA n ) = p(C ∩ A) = 2 9
ABC n-1 1/9 ABC n
BC n 2/9 AC n
2/9 AB n
0
A n 0
B n 0
C n 4/9
vide n 0
Fig. 2: issues épreuve à 3
3. Nombre moyen d'épreuves à l'issue desquelles s'achève le combat.
a. L'événement T 1 est l'union disjointe des événements A 1 , B 1 , C 1 , ∅ 1 . La probabilité des événements A 1 , B 1 , C 1 , ∅ 1 a été calculé en d) et e) en prenant n = 0 et en utilisant que ABC 0 est l'événement certain. On trouve donc
p(T 1 ) = p(A 1 ) + p(B 1 ) + p(C 1 ) + p(∅ 1 ) = 0 + 0 + 4
9 + 0 = 4 9 b. Soit n ≥ 2 . Remarquons que pour 0 ≤ k ≤ n
ABC 0 ∩ ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k−1 ∩ ABC k = ABC k
BC n-1 2/6 BC n
B n
2/6
C n 1/6
vide n 1/6
Fig. 3: issues épreuve avec BC
AC n-1 2/9 AC n
A n
2/9
C n 1/9
vide n 2/9