MPSI B DM 4 29 juin 2019
On se place dans l'espace euclidien usuel muni d'un repère xé d'origine O . Ce repère aide pour la visualisation des gures mais aucun calcul de coordonnées n'est nécessaire. Tous les plans et droites considérés contiennent le point O . On adopte les notations suivantes :
D( − → u ) est la droite de vecteur directeur − → u . P ( − → u , − → v ) est le plan contenant et − → v . P ( − → u
⊥) est le plan orthogonal à − → u .
Les notations utilisées pour désigner les points et les vecteurs respecteront les conventions suivantes :
M et un point et − → m un vecteur tels que −−→
OM = − → m . A et un point et − → a un vecteur tels que −→
OA = − → a . U et un point et − → u un vecteur tels que − − →
OU = − → u . · · ·
On se donne trois vecteurs − → u , − → v , − → w non nuls et non coplanaires. Pris deux à deux, ces vecteurs ne sont ni colinéaires ni orthogonaux. L'objet du problème est d'étudier (à l'aide de produits vectoriels) des congurations classiques dans le plan associées à un triangle de l'espace formé par les trois droites D( − → a ) , D( − →
b ) , D( − → c ) . 1. Préliminaires
a. On considère trois vecteurs − → a , − →
b , − → c non nuls, non colinéaires et tels que
−
→ a ∧ − → b 6= − →
0 , − → a + − →
b + − → c = − → 0 Montrer que
P( − → a
⊥) ∩ P( − →
b
⊥) ∩ P( − → c
⊥) = D( − → a ∧ − → b ) b. Former l'équation normale d'un plan P( − → a , − →
b ) et préciser la distance d'un point M à ce plan. (question de cours, la démonstration n'est pas demandée)
2. Plans hauteurs du triangle dans l'espace.
On dénit le plan hauteur issu de − → u comme étant orthogonal à P( − → v , − → w ) et contenant D( − → u ) .
a. Former un vecteur orthogonal au plan hauteur issu de − → u . b. Montrer l'identité (dite de Jacobi) :
( − → u ∧ − → v ) ∧ − → w + ( − → v ∧ − → w ) ∧ − → u + ( − → w ∧ − → u ) ∧ − → v = − → 0
En déduire que l'intersection des trois plans hauteurs est une droite. Cette droite est notée D
h.
3. Plans bissecteurs du triangle dans l'espace.
Fig. 1: Plan hauteur .
a. Montrer que l'ensemble des points équidistants de deux plans P ( − → u , − → v ) et P( − → w , − → u ) est la réunion de deux plans.
b. Former un vecteur orthogonal pour chacun de ces deux plans.
Parmi ces deux vecteurs, un seul (noté − → a ) est tel que − → a . − → v et − → a . − → w soient de signes opposés. Préciser ce vecteur − → a .
On dit que P( − → a
⊥) est le plan bissecteur intérieur issu de − → u .
Les deux autres plans bissecteurs intérieurs (issus de − → v et − → w ) s'obtiennent par permutation des lettres.
c. Préciser − →
b et − → c . Montrer que l'intersection des trois plans est une droite. Cette droite est notée D
b.
4. Plans médiateurs du triangle dans l'espace.
a. Montrer qu'un point M est équidistant des droites D( − → v ) et D( − → w ) si et seulement si il est équidistant des plans P ( − → v
⊥) et P ( − → w
⊥) .
b. Montrer que l'ensemble des points équidistants des deux droites D( − → v ) et D( − → w ) est la réunion de deux plans.
c. Former un vecteur orthogonal pour chacun de ces deux plans.
Parmi ces deux vecteurs, un seul (noté − → a ) est tel que − → a . − → v et − → a . − → w soient de signes opposés. Préciser ce vecteur − → a .
On dit que P( − → a
⊥) est le plan médiateur intérieur issu de − → u .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai M0504EMPSI B DM 4 29 juin 2019
Fig. 2: Plan bissecteur .
Les deux autres plans médiateurs intérieurs (issus de − → v et − → w ) s'obtiennent par permutation des lettres.
d. Préciser − →
b et − → c . Montrer que l'intersection des trois plans est une droite. Cette droite est notée D
m.
5. Préciser pour chacun des trois vecteurs suivants
−
→ u ∧ − → v k− → u kk− → v k +
−
→ v ∧ − → w k− → v kk− → w k +
−
→ w ∧ − → u k− → w kk− → u k k− → v ∧ − → w k− → u + k− → w ∧ − → u k− → v + k− → u ∧ − → v k− → w
−
→ u ∧ − → v
−
→ u . − → v +
−
→ v ∧ − → w
−
→ v . − → w +
−
→ w ∧ − → u
−
→ w . − → u la droite parmi D
b, D
m, D
hdont il est un vecteur directeur.
Fig. 3: Plan médiateur .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
