P(U ∪ V ) = P (U ) + P(V ) − P (U ∩ V ) b. On cherche la probabilité de A ∩ (B ∪ C) .

PARTIE I

Notons A ( respectivement B et C ) l'événement A (resp. B , C ) réussit son tir à une épreuve donnée.

1. Calcul de probabilités.

a. D'après le cours :

P(U ∪ V ) = P (U ) + P(V ) − P (U ∩ V ) b. On cherche la probabilité de A ∩ (B ∪ C) .

P(A∩(B∪C)) = P ((A∩B)∪(A∩C)) = P(A∩B)+P(A∩C)−P (A∩B∩C) (d'après a)

= P (A)P (B) + P (A)P (C) − P (A)P(B)P (C) (par indépendance des tirs)

= 1 3 1 2 + 1

3 1 3 − 1

3 1 2 1 3 = 2

9 c. On cherche la probabilité de A ∩ (B ∪ C) . On trouve de même

P(A ∩ (B ∪ C)) = P ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) = P(A ∩ B) + P(A ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C)

= P (A)P (B) + P (A)P (C) − P(A)P (B)P (C)

= 2 3 1 2 + 2

3 1 3 − 2

3 1 2 1 3 = 4

9 2. Détermination de probabilités conditionnelles

a. Tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé, à chaque étape A vise B, B et C visent A. Le tireur C n'est pas visé et ne peut donc pas être éliminé avant A ou B.

L'événement AB n est donc impossible.

b. ABC _n+1 ∩ ABC _n est événement ABC _n et A , B et C ratent leur tir à l'étape n . Par indépendance des tirs on a donc

p(ABC _n+1 |ABC _n ) = p(A)p(B)p(C) = 1 3 1 2 2 3 = 1

9

c. Comme, tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé à chaque étape A vise B, B et C visent A. L'événement BC n+1 ∩ ABC n est événement ABC n inter l'événement

" A rate son tire et B ou C réussissent leur tir à l'étape n ". Par indépendance des tirs on a donc

p(BC n+1 |ABC n ) = p(A ∩ (B ∪ C)) = 2

9 par 1b)

épreuve à 3

B ou C réussit 2/3

B et C échouent 1/3

A réussit 2/3

A échoue

1/3 2/3 1/3

Fig. 1: probabilités conditionnelles

De même

p(CA n+1 |ABC n ) = p(A ∩ B ∩ C) = 2 9

d. Si A, B, C ne sont pas éliminés, personne ne vise C, C ne peut donc pas être éliminé. D'où

p(A n+1 |ABC n ) = 0 et p(B n+1 |ABC n ) = 0 Comme dans la question précédente

p(C n+1 |ABC n ) = p(A ∩ (B ∪ C)) = 4

9 par 1c)

e. Si à une étape il reste A et C alors A vise sur C et C vise sur A. L'événement A n+1 ∩ CA n est donc l'événement CA n inter l'événement "A rate son tir et C réussit son tir à l'étape n ". Par indépendance des tirs, on a donc

p(A n+1 |CA n ) = p(A ∩ C) = 4 9 De même

p(B _n+1 |BC _n ) = p(B ∩ C) = 1

3 p(C _n+1 |CA _n ) = p(C ∩ A) = 1 9 et

p(C _n+1 |BC _n ) = p(C ∩ B) = 1

6

f. On a toujours, si A, B, C ne sont pas éliminés, personne ne vise C, C ne peut donc pas être éliminé, d'où

p(∅ n+1 |ABC n ) = 0 D'autre part,

p(∅ _n+1 |BC _n ) = p(B ∩ C) = 1

6 p(∅ _n+1 |CA _n ) = p(C ∩ A) = 2 9

ABC n-1 1/9 ABC n

BC n 2/9 AC n

2/9 AB n

0

A n 0

B n 0

C n 4/9

vide n 0

Fig. 2: issues épreuve à 3

3. Nombre moyen d'épreuves à l'issue desquelles s'achève le combat.

a. L'événement T 1 est l'union disjointe des événements A 1 , B 1 , C 1 , ∅ 1 . La probabilité des événements A ₁ , B ₁ , C ₁ , ∅ 1 a été calculé en d) et e) en prenant n = 0 et en utilisant que ABC ₀ est l'événement certain. On trouve donc

p(T 1 ) = p(A 1 ) + p(B 1 ) + p(C 1 ) + p(∅ 1 ) = 0 + 0 + 4

9 + 0 = 4 9 b. Soit n ≥ 2 . Remarquons que pour 0 ≤ k ≤ n

ABC ₀ ∩ ABC ₁ ∩ · · · ∩ ABC _k−1 ∩ ABC _k = ABC _k

BC n-1 2/6 BC n

B n

2/6

C n 1/6

vide n 1/6

Fig. 3: issues épreuve avec BC

AC n-1 2/9 AC n

A n

2/9

C n 1/9

vide n 2/9

Fig. 4: issues épreuve avec AC

D'où, par la question 2b.,

p(ABC ₁ ∩ ABC ₂ ∩ · · · ∩ ABC _n−1 ∩ ABC _n )

= p(ABC ₁ |ABC 0 )p(ABC ₂ |ABC 1 ) . . . p(ABC _n |ABC n−1 ) = 1 9 ⁿ

c. Soit n ≥ 2 et soit 0 ≤ k ≤ n − 1 , on trouve de même :

p(ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ CA k+1 ∩ · · · ∩ CA n )

= p(ABC ₁ |ABC ₀ ) . . . p(ABC _k |ABC _k−1 )p(CA _k+1 |ABC _k ) p(CA k+2 |CA k+1 )) . . . p(CA n |CA n−1 )

= 1

9 ^k 2

9 2

9

n−k−1

= 2 ^n−k

9 ⁿ

d. Soit n ≥ 2 et soit 0 ≤ k ≤ n − 1 :

p(ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ BC k+1 ∩ · · · ∩ BC n )

= p(ABC 1 |ABC 0 ) . . . p(ABC k |ABC _k−1 )p(BC k+1 |ABC k ) p(BC _k+2 |BC k+1 )) . . . p(BC _n |BC n−1 )

= 1

9 ^k 2

9 1

3

n−k−1

= 2

3 ^n+k+1 e. Soit n ≥ 2 . Notons T _>n l'événement étudié. Le combat n'est pas ni à l'issue de la

n-ième épreuve si à l'issue de la n-ième épreuve il reste deux ou trois tireurs. T _>n est la réunion disjointe de ABC _n , AB _n (qui est l'événement impossible), CA _n et BC _n .

D'autre part,

CA n est l'union disjointe des événements ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ CA k+1 ∩ · · · ∩ CA _n , pour 0 ≤ k ≤ n − 1

BC _n est l'union disjointe des événements ABC ₁ ∩· · ·∩ABC k ∩BC k+1 ∩· · ·∩BC n , pour 0 ≤ k ≤ n − 1 .

D'où, d'après les questions b), c) et d)

p(T >n ) = 1 9 ⁿ +

n−1

X

k=0

2 ^n−k 9 ⁿ +

n−1

X

k=0

2 3 ^n+k+1

= 1

9 ⁿ + 2 ⁿ⁺¹ − 2 9 ⁿ +

1 3 ⁿ − 1

9 ⁿ

= 2 ⁿ⁺¹ + 3 ⁿ − 2 9 ⁿ On a T _>n−1 est l'union disjointe de T n et T >n . Donc

p(T n ) = p(T _>n−1 ) − p(T >n ) = 2 ⁿ + 3 ⁿ⁻¹ − 2

9 ⁿ⁻¹ − 2 ⁿ⁺¹ + 3 ⁿ − 2 9 ⁿ

Pour n = 1 , ²

ⁿ

⁺³ ₉

ⁿ⁻¹ⁿ⁻¹

⁻² − ²

ⁿ⁺¹

⁺³ ₉

nⁿ

⁻² = ⁴ ₉ ce qui correspond à la probabilité de T ₁ . f. Pour k ∈ N, posons t k = ²

^k+1

⁺³ ₉

k^k

⁻² .

Soit n ≥ 1 . D'après la formule précédente (valable dès k = 1 )

n

X

k=1

p(T k ) =

n

X

k=1

(t k−1 − t k ) = t 0 − t n (sommation en dominos)

= 1 − 2 ⁿ⁺¹ + 3 ⁿ − 2 9 ⁿ

qui tend bien vers 1 en +∞ . D'où

n

X

k=1

kp(T _k ) =

n

X

k=1

k(t _k−1 − t _k ) =

n

X

k=1

t _k−1

!

− nt _n

=

n−1

X

k=0

2 ^k+1 + 3 ^k − 2 9 ^k

!

− n 2 ⁿ⁺¹ + 3 ⁿ − 2 9 ⁿ Ce qui permet de calculer l'espérance :

n−1

X

k=0

2 ^k+1

9 ^k tend vers 18 7

n−1

X

k=0

3 ^k

9 ^k tend vers 3 2

n−1

X

k=0

2

9 ^k tend vers 9 4 n 2 ⁿ⁺¹ + 3 ⁿ − 2

9 ⁿ tend vers 0



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⇒

n

X

k=1

kp(T k ) tend vers 51 28

4. Probabilités pour que A, B, C remportent le combat

a. Si A est le seul tireur restant à l'issue de la n-ième étape alors B et C ont été éliminés avant selon le schéma suivant.

(ABC) −−−−→ ^{k fois} (ABC) → (AC) −−−−−−−−→ ^{n−k−2 fois} (AC) → (A)

Comme déjà vu, tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé à chaque étape A vise B, B et C visent A. B est donc éliminé (strictement) avant C. Dès que C est éliminé, A gagne. On voit donc que l'événement A 1 est impossible et que pour n ≥ 2 , A n

est l'union disjointe des

ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ CA k+1 ∩ · · · ∩ CA n−1 ∩ A n

pour 0 ≤ k ≤ n − 2 (où k correspond à l'étape où B a été éliminé).

b. Soit n ≥ 2 et 0 ≤ k ≤ n − 2 . D'après la formule des probabilités composées, la probabilité de l'événement correspondant au schéma indiqué est

1 9

k

× 2 9 ×

2 9

n−k−2

× 4 9 = 1

9 ⁿ 2 ^n+1−k

Ces événements indexés par k sont disjoints, la probabilité que A remporte le combat à l'issue de l'épreuve n est donc la somme des probabilités

n−2

X

k=0

1

9 ⁿ 2 ^n+1−k = 1

9 ⁿ 2 ⁿ⁺¹ + · · · + 2 ³

= 2 ⁿ⁺² − 2 ³ 9 ⁿ = 4

2 9

n

− 8 1

9 n

c. L'événement A est l'union disjointe des A _n pour n ≥ 2 . Donc p(A) est la limite quand n tend vers +∞ de P n

k=2 p(A _k ) . On obtient p(A) = ₆₃ ¹ P B . p(A) = 4

2 9

2

1 1 − ² ₉ − 8

1 9

2

1

1 − ¹ ₉ = 16 9 × 7 − 8

9 × 8 = 16 − 7 9 × 7 = 1

7 d. Suivant le même principe B _n est l'union disjointe, pour 0 ≤ k ≤ n − 2 , des

ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ BC k+1 ∩ · · · ∩ BC _n−1 ∩ B n

Soit n ≥ 2 et 0 ≤ k ≤ n − 2

p(ABC ₁ ∩ · · · ∩ ABC _k ∩ BC _k+1 ∩ · · · ∩ BC _n−1 ∩ B _n )

= p(ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ BC k+1 ∩ · · · ∩ BC n−1 )p(B n |BC n−1 )

= 2

3 ^n+k 1 3 = 2

3 ^n+k+1 D'où

p(B n ) = 1 3 ⁿ − 1

3 ²ⁿ⁻¹ Donc p(B) est la limite quand n tend vers +∞ de P n

k=2 p(B _k ) . On obtient p(B) =

1 3

2

1 1 − ¹ ₃ − 3

1 9

2

1 1 − ¹ ₉ = 1

8

e. Pour que C gagne le combat à l'étape n il y a plusieurs cas de gure : Soit A et B sont éliminés en même temps. Notons C n,AB cet événement.

C'est aussi ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC _n−1 ∩ C n de probabilité

p(ABC ₁ ∩ · · · ∩ ABC _n−1 ∩ C _n ) = p(ABC _n−1 )p(C _n |ABC _n−1 ) = 1 9 ⁿ⁻¹

4 9 = 4

9 ⁿ

Soit A est éliminé puis B. Notons C n,B cet événement.

C'est l'union disjointe, pour 0 ≤ k ≤ n − 2 , des événements ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ BC k+1 ∩ · · · ∩ BC _n−1 ∩ C n

Soit n ≥ 2 et 0 ≤ k ≤ n − 2

p(ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ BC k+1 ∩ · · · ∩ BC n−1 ∩ C n )

= p(ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ BC k+1 ∩ · · · ∩ BC _n−1 )p(C n |BC _n−1 ))

= 2

3 ^n+k 1 6 = 1

3 ^n+k+1 La probabilité de C _n,B est donc :

1 2 ( 1

3 ⁿ − 1 3 ²ⁿ⁻¹ )

Soit B est éliminé puis A. Notons C n,A cet événement. C'est l'union disjointe, pour 0 ≤ k ≤ n − 2 , des événements

ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ CA k+1 ∩ · · · ∩ CA n−1 ∩ C n

Soit n ≥ 2 et 0 ≤ k ≤ n − 2

p(ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ CA k+1 ∩ · · · ∩ CA n−1 ∩ C n )

= p(ABC 1 ∩ · · · ∩ ABC k ∩ CA k+1 ∩ · · · ∩ CA _n−1 )p(C n |CA _n−1 )

= 2 ^n−k−1 9 ⁿ⁻¹

1

9 = 2 ^n−1−k 9 ⁿ La probabilité de C _n,A est donc

n−2

X

k=0

2 ^n−1−k 9 ⁿ = 1

9 ⁿ (2 ⁿ − 2)

L'événement C _n est l'union disjointe des C _n,AB , C _n,B et C _n,A Donc p(C) est la limite quand n tend vers +∞ de

n

X

k=1

p(C _n,AB ) +

n

X

k=2

p(C _n,B ) +

n

X

k=2

p(C _n,A )

On obtient :

n

X

k=1

p(C n,AB ) tend vers 1 2

n

X

k=2

p(C n,B ) tend vers 1 16

n

X

k=2

p(C n,A ) tend vers 1 28



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



⇒ p(C) = 67 112

PARTIE II

1. Expression de la matrice de transition M a. On trouve

M =















































 1

9 0 0 0 0 0 0 2

9 1

3 0 0 0 0 0

2

9 0 2

9 0 0 0 0

0 0 4

9 1 0 0 0 0 1

3 0 0 1 0 0

4 9

1 6

1

9 0 0 1 0 0 1

6 2

9 0 0 0 1

















































b. Soit n ∈ N. Par récurrence, E n = M ⁿ E 0 . 2. Calcul des puissances de la matrice M .

a. Vérication évidente à l'aide du produit par blocs.

b. En lisant dans la matrice de transition, on trouve

U =















 1

9 0 0

2 9

1 3 0 2

9 0 2

9

















V =

























0 0 4

9 0 1

3 0 4

9 1 6

1 9 0 1

6 2 9

























c.

3. Diagonalisation de la matrice U

a. Le système considéré admet une solution non nulle si la matrice U − λI 3 n'est pas inversible. Notons P (λ) le déterminant de cette matrice.

P(λ) =

1

9 − λ 0 0

2 9

1

3 − λ 0

2

9 0 ² ₉ − λ

= ( 1 9 − λ)( 1

3 − λ)( 2 9 − λ)

D'où λ 1 = ¹ ₉ , λ 2 = ² ₉ et λ 3 = ¹ ₃ .

La résolution des systèmes donne V 1 = (1, −1, −2) , V 2 = (0, 0, 1) et V 3 = (0, 1, 0) . b. D'après la formule de changement de base, on obtient le résultat cherché, en

formant la matrice des vecteurs propres trouvés soit :

P =

















1 0 0

−1 0 1

−2 1 0

















et D =

















1

9 0 0

0 ² ₉ 0 0 0 ¹ ₃

















avec P ⁻¹ =

















1 0 0 2 0 1 1 1 0

















4. Calcul de la limite des puissances de la matrice M . a. Soit n ∈ N,

D ⁿ =





1

9

ⁿ

0 0 0 ² ₉

ⁿn

0 0 0 ₃ ¹

n





et

I 3 + D + · · · + D ⁿ =





9

8 − _8.9 ¹

_n

0 0

0 ⁹ ₇ − ² _7.9

ⁿ⁺¹n

0 0 0 ³ ₂ − _2.3 ¹

n





b. On obtient que (D ⁿ ) converge vers la matrice nulle et que (I 3 + D + · · · + D ⁿ ) converge vers la matrice











 9

8 0 0

0 9 7 0

0 0 3

2













De U = P DP ⁻¹ , on tire U ⁿ = P D ⁿ P ⁻¹ pour n ∈ N. On en déduit que (U ⁿ ) converge vers P 0P ⁻¹ ie vers la matrice nulle et (I 3 + U + · · · + U ⁿ ) converge vers la matrice

P













 9

8 0 0

0 9 7 0

0 0 3

2













 P ⁻¹ =













 9

8 0 0

3 8

3 2 0 9

28 0 9 7















c. D'après l'expression de M ⁿ trouvée en 2)c) et en utilisant que (V +V U +· · ·+V U ⁿ ) converge vers la matrice

V













 9

8 0 0

3 8

3 2 0 9

28 0 9 7















=





















 1

7 0 4

7 1

8

1 2 0 67

112 1 4

1 7 15

112 1 4

2 7























Donc

E _n = M ⁿ E ₀ =











































 0 0 0 1 7 1 8 67 112

15 112













































d. On retrouve bien que (p(ABC n )) , (p(BC n )) et (p(CA n )) convergent vers 0 , que (p(A n )) converge vers 1

7 , que (p(B n )) converge vers 1

8 , que (p(C n ) converge vers 67

112 et que (p(∅ n ) converge vers 15

112 .