LYCÉE ALFRED KASTLER TSTMG 2013–2014
Devoir surveillé n◦04 – mathématiques Correction
Exercice 1
1. (a) Pour déterminer u1, on augmente u0 de4%, donc on multiplie u0 par 1,04.
Ainsi, u1 =u0×1,04 = 150 000×1,04 = 156 000.
(b) De même, on détermine un+1 à partir de un en multipliant par la constante1,04 : un+1 =un×1,04.
Donc u est géométrique de raison 1,04, et par conséquent, un=u0×1,04n. Autrement dit, un = 150 000×1,04n.
(c) À l’aide de la calculatrice, on observe que u13 '249 761,03et u14'259 751,47.
Ainsi, commeuest croissante (car la raison est supérieure à 1),un est supérieure à250 000 à partir de n = 14.
2. (a) La somme que Paul possède en début d’année 2015 est bien de : 164 000×1,04 + 8 000 = 170 560 + 8 000 = 178 560e.
(b) La formule à entrer dans la cellule B3 pour calculer les intérêts de l’année est "=A3×0,04".
(c) La formule de la cellule C3 est "=C$2" ou "=C2". Celle de D3 est "=B3 +C3".
(d) Pour n = 7, on obtient vn=n7 '260 576,12, alors que v6 <250 000.
Donc c’est à partir de l’année 2013 + 7 = 2020 que Paul pourra disposer d’au moins 250 000e.
Exercice 2
1. Le tableau est le suivant :
Spécialité CFE Spécialité CGRH Total
Filles 31 20 51
Garçons 13 8 21
Total 44 28 72
2. L’élève étant choisi au hasard, la loi et équirépartie, et : P(B) = 44
72 = 11
18 et P(F) = 21 72 = 7
24.
Par suite, PA(F) = nombre d’éléments de A∩F nombre d’éléments de A = 20
28 = 5 7.
3. (a) l’événement F ∩A est : « l’élève est une fille en spécialité CGRH ».
On a P(F ∩A) = 20 72 = 5
18. (b) On calcule : P(F)×P(A) = 51
72× 28
72 '0,275.
Or P(F ∩A) = 5
18 '0,278. Ainsi, P(F ∩A)6=P(F)×P(A).
4. On doit calculer PF(A) = P(A∩F) P(F) =
20 72 51 72
= 20 51. (on peut encore ici utiliser les nombres d’éléments)
Exercice 3
1. On cherchex tel quex×1,0019 = 5 178 (augmenter une valeur de0,19% revient à multiplier par 1,0019).
Ainsi, x= 5 178
1,0019 '5 168, autrement dit, la production de voiture particulières en 2004 était de 5 168au millier près.
2. (a) Le tableau des indices et le suivant :
Rang (xi) 0 1 2 3 4 5 6
Indice base 100 en 2005 de la produc- tion (yi)
100 97,47 102,38 94,65 92,84 108,34 108,25 (b) Puisque l’indice est 108,25en2011, cela signifie que le taux d’évolution de2005 à2011est
de 8,25%.
3. Le nuage de points est le suivant : Indice (yi)
Rang (xi) 90
92 94 96 98 100 102 104 106 108 110
0 1 2 3 4 5 6
×
×
×
×
×
× ×
4. On calcule :
x = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
7 = 21
7 = 3
y = 100 + 97,47 + 102,38 + 94,65 + 92,84 + 108,34 + 108,25
7 = 703,93
7 '100,56 Ainsi, G(3; 100,56).
5. Les points ne semblent pas du tout alignés. Par conséquent un ajustement affine ne semble pas justifié.
Exercice 4
1. On calcule : C(12) = 2×123−54×122+ 470×12 + 80 = 1 400.
Ainsi, pour 12objets fabriqués et vendus, le coût de fabrication est de 1 400e.
Par suite, la recette est de 200×12 = 2 400e, puis le bénéfice est de 2 400−1 400 = 1 000e. 2. (a) On aR(x) = 200x.
(b) On a :
B(x) = R(x)−B(x) = 200x−(2x3−54x2+ 470x+ 80)
= 200x−2x3+ 54x2−470x−80 =−2x3+ 54x2−270x−80 3. (a) On aB0(x) =−2×3x2 + 54×2x−270×1−0 = −6x2+ 108x−270. Or :
−6(x−3)(x−15) = −6(x2 −15x−3x+ 3×15) =−6(x2−18x+ 45)
= −6x2+ 108x−270 =B0(x) Donc on a bien B0(x) = −6(x−3)(x−15)
(b) On cherche l’équation de la tangente à la courbe représentative de B enx= 7.
On calcule : B0(7) = −6(7−3)(7−15) =−6×4×(−8) = 192.
L’équation est alors de la forme y= 192x+p.
Or, la tangente passe par le point d’abscisse x= 7, dont l’ordonnée est B(7).
On calcule donc : B(7) =−2×73+ 54×72−270×7−80 =· · ·=−10.
Ainsi, l’ordonnée est −10et l’on a −10 = 192×7 +p.
Donc p=−10−192×7 = −1354.
Par conséquent, une équation de la tangente est y= 192x−1354.
(c) On étudie le signe du produit −6(x−3)(x−15) avec un tableau de signe.
Or x−3>0⇔x >3 etx−15>0⇔x >15. Donc : x
−6 x− 3 x − 15 signe deB0(x)
0 3 15 21
− − −
− 0 + +
− − 0 +
− 0 + 0 −
(d) Puisque le maximum de la fonction B est atteint en x = 15, pour 15 objets fabriqués et vendus le bénéfice est maximal. Il est alors de B(15) =· · ·= 1 270e.
