2 et, pour tout n de , u

DEVOIR A LA MAISON N°2. TS1.

Pour le

I. On considère la suite ( ) ^u

ⁿ

définie par u

0

2 et, pour tout n de , u

n 1

2u

n

1 2 u

n

. 1. Soit f la fonction définie sur [0 [ par f (x ) 2 x 1

2 x . Construire le tableau de variation de f sur [0 [.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1 u

n 1

u

n

2.

3. En déduire le sens de variation de la suite ( ) ^u

ⁿ

^.

II. ( ) ^u n est la suite définie sur par u

_n

2 (n 1)(n 2)

1. Déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^u

n

par la méthode de votre choix.

2. Montrer que, pour tout n de , u

_n

2 n 2

2 n 1 . 3. Exprimer en fonction de n, S

_n



i 0 n

u

_i

. 4. Déterminer lim

n

u

n

et lim

n

S

n

. 5. En déduire 2

2 2 2 3

2

3 4 … 2

20 21 III. Pour chercher un peu plus.

Soit x un réel non nul.

Montrer par récurrence que, quel que soit l'entier naturel n non nul, x

ⁿ

1 ( x 1) 

k 0 n 1

x

^k

.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°2. TS1

I.

1. f est dérivable sur [0 [.

Pour tout réel x de cet intervalle, on a f (x ) 2(2 x) (2 x 1)1 (2 x )²

3

(2 x)² 0.

f est donc strictement croissante sur ]0 [.

2. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1 u

n 1

u

n

2.

Initialisation : u

0

2 et u

1

2 2 1 2 2

5

4 donc 1 u

1

u

0

2 : La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : Soit p un entier naturel tel que 1 u

p 1

u

p

2. Montrons que 1 u

p 2

u

p 1

2.

On a 1 u

p 1

u

p

2

donc f(1) f ( ^u

^{p 1}

) ^f ( ) ^u

^p

f(2) car f est croissante sur [0 [.

Or f (1) 2 1 1

2 1 1 ; f (2) 2 2 1 2 2

5

4 ; f ( ^u

p 1

) u

p 2

et f ( ) ^u

p

u

p 1

par définition de la suite

( ) ^u

ⁿ

^.

On a donc 1 u

p 2

u

p 1

5

4 et donc (puisque 5

4 2), 1 u

p 2

u

p 1

2.

Conclusion : pour tout entier naturel n, 1 u

n 1

u

n

2.

3. Pour tout entier naturel n, u

n 1

u

n

donc la suite ( ) ^u

ⁿ

est décroissante.

II. ( ) ^u n est la suite définie sur par u

n

2 (n 1)(n 2) 1. Méthode 1 : on étudie le signe de u

n 1

u

n

. Soit n un entier naturel.

u

_{n 1}

u

_n

2

( n 2)( n 3)

2 (n 1)(n 2)

2( n 1) 2( n 3) (n 1)(n 2)(n 3)

4

(n 1)(n 2)(n 3) 0 car n 0 La suite ( ) ^u

ⁿ

est donc croissante.

Méthode 2 : on étudie les variations de la fonction f telle que u

n

f( n).

Soit f la fonction définie sur [0 par f (x ) 2 ( x 1)( x 2)

2

x ² 3x 2 2 1

x ² 3x 2 f est dérivable sur +. On utilise la formule

 

  1 u

u u² . Pour tout x 0, f (x ) 2 (2x 3)

( x² 3x 2)

²

4(2 x 3)

( x² 3x 2)

²

0 car x 0.

La fonction f est croissante sur [0 [ et, pour tout n de , on a u

_n

f (n ). La suite ( ) ^u

ⁿ

^{est donc}

croissante.

2. Soit n un entier naturel.

2 n 2

2 n 1

2(n 1) 2( n 2) (n 2)(n 1)

2

( n 1)( n 2) u

_n

. Ainsi, pour tout n de , u

n

2 n 2

2 n 1 . 3. Soit n un entier naturel.

S

n



i 0 n

u

i

u

0

u

1

u

2

… u

n

S

n

2

0 2

2

0 1

2

1 2

2

1 1

2

2 2

2

2 1 … 2

n 2 2 n 1 S

n

2 2

2 1

2 3

2 2

2 4

2

3 … 2

n 2 2 n 1 S

n

2 n 2

2

1 (les termes se simplifient deux à deux : somme télescopique)

S

n

2n 2 n 2

2(n 1) n 2

Remarque : se démontre de façon rigoureuse par récurrence.

4. Pour tout n de , u

n

2 ( n 1)( n 2) . lim

n

n 1)(n 2) donc lim

n

u

_n

0.

Pour tout n de , S

n

2n 2 n 2 . lim

n

2 n 2 et lim

n

n 2 donc on a une F.I.

Pour tout n de , S

n

n  

  2 ²

n n  

 

1 ²

n

2 ²

n

1 ²

n lim

n

2

n 0 donc lim

n

2 ²

n 2 et lim

n

1 ²

n 1. Alors lim

n

S

n

2.

5. 2

2 2 2 3

2

3 4 … 2

20 21 u

₀

u

₁

… u

₁₉

2(19 1) 19 2

40 21 . III. Soit x un réel non nul.

Initialisation : Pour n 1 x

¹

1 x 1 et (x 1) 

k 0 0

x

^k

( x 1) x

⁰

( x 1) 1 x 1. La propriété est vraie au rang 1.

Hérédité : Soit p un entier naturel tel que x

^p

1 (x 1) 

k 0 p 1

x

^k

. Montrons que x

^{p 1}

1 (x 1) 

k 0 p

x

^k

(x 1) 

k 0 p

x

^k

(x 1) ( ^x

⁰

^x

¹

^{…. x}

^{p 1}

^x

^p

)

(x 1) 

k 0 p

x

^k

(x 1) ( ^x

⁰

^x

¹

… x

^{p 1}

) (x 1) x

^p

(x 1) 

k 0 p

x

^k

(x 1) 

k 0 p 1

x

^k

( x 1) x

^p

(x 1) 

k 0 p

x

^k

x

^p

1 ( x 1)x

^p

d après l hypothèse de récurrence

(x 1) 

k 0 p

x

^k

x

^p

(1 x 1) 1

(x 1) 

k 0 p

x

^k

x

^{p 1}

1

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : pour tout entier naturel n non nul, x

ⁿ

1 ( x 1) 

k 0 n 1

x

^k

.