1. Étudier le sens de variation de la suite ( ) u n .

Nom : Prénom :

CONTRÔLE N°4 1 ^ère spé maths.

I. ( ) ^{u n} est la suite définie par u 0 4 et, pour tout n de , u n 1 u n

2 u n 5.

1. Étudier le sens de variation de la suite ( ) ^{u n .}

2. Voici un algorithme : u  4

Pour i allant de 1 à N u  u² u 5 Fin pou r

a. On s uppos e que N 3. Construire la table d exécution de l algorithme et donner la valeur de u à la fin de l algorithme.

b. Que fait cet algorithme ?

II. Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite ( ) ^u n où u n désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année 2015 n . En 2015, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres. On a donc u 0 50.

1. Déterminer le nombre d arbres en 2016.

2. n étant un entier naturel, exprimer u n 1 en fonction de u n .

3. Compléter l algorithme suivant, qui permet de déterminer au bout de combien d années le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé 58 000.

N …..

U ……

Tant que ………..

U ………..

N ……….

Fin Tant que

4. A la calculatrice, déterminer la valeur de N obtenue à la fin de l algorithme précédent.

III. ( ) ^{u n} est la suite définie sur par u n

1

3 n ³ 3 n² 8n 5 et f la fonction définie sur par f( x) 1

3 x ³ 3 x² 8x 5.

1. Étudier les variations de f sur son ensemble de définition.

2. En déduire le sens de variation de la suite ( ) ^{u n .}

TOURNER LA PAGE

IV. Dans une ville comportant 15 000 foyers, une enquête portant sur les habitudes en matière d’écologie a donné les résultats suivants :

 10 500 foyers pratiquent le tri sélectif.

 Parmi les foyers pratiquant le tri sélectif, 30% consomment des produits bio ;

 Parmi les foyers ne pratiquant pas le tri sélectif, 450 consomment des produits bio.

On choisit un foyer au hasard et on note :

T l’évènement : « Le foyer pratique le tri sélectif » B l’évènement : « Le foyer consomme des produits bio »

1. Déterminer P (T ) ; P

T (B ) et P _T ( B).

2. Construire un arbre pondéré illustrant cette situation.

3. Calculer P (T B). Interpréter le résultat.

4. Montrer que la probabilité que le foyer consomme des produits bio est égale à 0,24.

5. Le foyer choisi consomme des produits bio. Calculer la probabilité qu’il ne pratique pas le tri sélectif.

6. Cette ville décide de favoriser les foyers ayant un comportement éco-citoyen. Pour cela, elle offre chaque année un chèque de 50€ aux foyers qui pratiquent le tri sélectif et un chèque de 20€ aux foyers qui consomment des produits bio (les deux récompenses peuvent être cumulées).

Soit S la variable aléatoire égale à la somme d’argent reçue par un foyer choisi au hasard.

a. Donner les différentes valeurs que peut prendre S.

b. Déterminer la loi de probabilité de S .

c. Calculer l’espérance de S et interpréter ce résultat.

d. On rappelle que la ville comporte 15 000 foyers. Quel budget cette ville doit-elle prévoir pour récompenser les foyers ayant un comportement éco-citoyen ?

V. A la fête foraine, une roue de la fortune est partagée en 12 secteurs égaux : six sont bleus, deux sont roses, trois sont jaunes et un est vert.

Pour lancer la roue, il faut payer 5€.

Si le bleu sort, on a perdu et on ne reçoit rien ; si le jaune sort, on est remboursé du prix de la partie ; si le rose sort, on reçoit 10€ et si le vert sort, on reçoit une somme, notée s, à déterminer.

On note G la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.

1. Donner, en fonction de s, la loi de G.

2. Quelle doit être la valeur de s pour que le jeu soit équitable ?

CORRECTION DU CONTRÔLE N°4 1ère Spé I. ( ) ^u n est la suite définie par u ₀ 4 et, pour tout n de , u _{n 1} u _n ² u _n 5.

1. Soit n un entier naturel.

u _{n 1} u _n u _n ^² u _n 5 u _n u _n ² 5 0 donc la suite ( ) ^{u n} est croissante.

2.

a. On peut construire la table suivante :

N i u

3 4

3 1 4

3 1 4² 4 5 25

3 2 25

3 2 25² 25 5 655

3 3 655

3 3 655² 655 5 429 685

A la fin de l algorithme, u 429 685.

b. L algorithme calcule la valeur de u N . II.

1. Diminuer de 5% revient à multiplier par 1 5

100 0,95.

50000 0,95 3000 50 500. En 2016, il y aura 50 500 arbres.

2. Pour tout n de , u n 1 0,95u n 3.

3.

N 0 U 50

Tant que U 58 U 0,95 U 3 N N 1 Fin Tant que

4. Le premier terme de la suite dépassant 58 est u 32 donc, à la fin de l algorithme, N 32.

III.

1. f est dérivable sur . Pour tout réel x, on a f (x ) x ² 6x 8.

On cherche le signe de f (x) : 4 donc le trinôme a deux racines qui sont 4 et 2 et il est du signe de a 1 sauf entre ces racines. On peut donc construire le tableau suivant :

x 4 2 signe de f (x )

variations de f

31 3

35 3

2. ( ) ^{u n} est définie sur de façon explicite par u n f (n ) et f est croissante sur [0 [ donc ( ) ^{u n}

est croissante.

IV.

1. P( T) 10500

15000 0,7 ; P

T ( B) 0,3 et P _T (B ) 450

15000 10500 0,1 2. On peut construire l arbre ci-contre :

3. P( T B) P (T ) P T (B ) 0,7 0,3 0,21. La probabilité que le foyer choisi pratique le tri sélectif et consomme des produits bio est 0,21.

4. T et T forment une partition de . D après la formule des probabilités totales,

P (B ) P (T B) P( bart (T ) B) 0,21 P ( ) ^{T P} T ( B) 0,21 0,3 0,1 0,24 Ainsi, la probabilité que le foyer consomme des produits bio est égale à 0,24.

5. P B ( ) ^{T P} ( ^{T B} )

P (B )

0,3 0,1

0,24 0,125. La probabilité qu un foyer consommant des produits bio ne pratique pas le tri sélectif est 0,125.

6.

a. S peut prendre les valeurs 0 ; 20 ; 50 et 70.

b. P (S 0) P T B 0,3 0,9 0,27.

P (S 20) P ( ^{T B} ) ^{0,3 0,1 0,03.}

P (S 50) P T B 0,7 0,7 0,49 . P (S 70) P( T B ) 0,7 0,3 0,21.

On a donc la loi de probabilité de S :

x i 0 20 50 70

P ( ^{S x} i ) 0,27 0,03 0,49 0,21

c. E (S ) 0,27 0 0,03 20 0,49 50 0,21 70 39,8.

Sur un grand nomb re de foyers, chaqu e foyer recevra en moyenn e 39€80.

d. 15000 39,8 59 700. La mairie doit prévoir un budget de 59 700€.

V.

1. G peut prendre les valeurs 5 ; 0 ; 5 et s 5.

La loi de G est donnée par le tableau ci-dessous :

x i 5 0 5 s 5

P ( ^{G x} i ) 6 12

1 2

2 12

1 6

3 12

1 4

1 12 2. On cherche s tel que E (G ) 0.

E (G ) 1

2 ( 5) 1

6 0 1

4 5 1

12 (s 5) 5

3 1 12 s E (G ) 0  5

3 1

12 s 0  1 12 s 5

3  s 20.

Pour que l e jeu soi t équitabl e, l a val eur de s doit être 20€.