Étudier le sens de variation d’une suite

(1)

Exercice

Question 1 Question 2 Question 3

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Étudier le sens de variation d’une suite

TS

8 décembre 2007

(2)

Étudier le sens de variation

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Exercice

1 Exercice Question 1 Question 2 Question 3

2 Corrigé Question 1 Question 2 Question 3

3 Théorie

TS Étudier le sens de variation d’une suite

(3)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Étudier le sens de variation de la suite suivante définie pour tout entiernpar :

un= n² n₊1^.

Théorie Corrigé

(4)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Question 2.

un= µ2

3

¶n .

Théorie Corrigé

(5)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

un=p 3n₊1^.

Théorie Corrigé

(6)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Corrigé

3 Théorie

(7)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

On étudie le signe de la différence.

(8)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 1.

Calcul deu_n

+1−u_n.

On a

un₊1−un=

=

(9)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

On a

un₊1−un=(n₊1)² n₊2 ⁻

n² n₊1

=

(10)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 1.

Calcul deu_n

+1−u_n.

On a

un₊1−un=(n₊1)² n₊2 ⁻

n² n₊1

=(n₊1)²(n₊1) (n₊2)(n₊1) ⁻

n²(n₊2) (n₊1)(n₊2)

=

(11)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

On a

un₊1−un=(n₊1)² n₊2 ⁻

n² n₊1

=(n₊1)²(n₊1) (n₊2)(n₊1) ⁻

n²(n₊2) (n₊1)(n₊2)

= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)^.

(12)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 1.

Étude du signe de _(nⁿ²⁺³ⁿ⁺¹

+1)(n₊2).

un₊1−un= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)

Commen_∈N, on an_Ê0. Alors :

(13)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

un₊1−un= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)

Commen_∈N, on an_Ê0. Alors : n²_Ê0 ;

(14)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 1.

+1)(n₊2).

un₊1−un= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)

3n_Ê0 ;

(15)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

un₊1−un= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)

3n_Ê0 ; 1_>0.

(16)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 1.

+1)(n₊2).

un₊1−un= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)

+

3n_Ê0 ; 1_>0.

Donc, par somme,n²₊3n₊1_>0.

(17)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

un₊1−un= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)

+

Commen_∈N, on an_Ê0. Alors : n_Ê0 ;

(18)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 1.

+1)(n₊2).

un₊1−un= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)

+

1_>0.

(19)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

un₊1−un= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)

+

1_>0.

Donc, par somme,n₊1_>0.

(20)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 1.

+1)(n₊2).

un₊1−un= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)

+

(21)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

un₊1−un= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)

+

2_>0.

(22)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 1.

+1)(n₊2).

un₊1−un= n²₊3n₊1 (n₊1)(n₊2)

+

+ +

2_>0.

Donc, par somme,n₊2_>0.

(23)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

On obtient le tableau de signes suivant :

0 _{+ ∞}

n²₊3n₊1 ₊

n₊1 ₊

n₊2 ₊

n²₊3n₊1

(n+1)(n₊2) +

(24)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 1.

Conclusion.

On obtient le tableau de signes suivant :

0 _{+ ∞}

n²₊3n₊1 ₊

n₊1 ₊

n₊2 ₊

n²₊3n₊1

(n+1)(n₊2) +

Ainsi, pour tout entiern_∈N,un₊1−un>0 c’est-à-dire un₊1>un.

La suite est donc strictement croissante surN. ^Retour

(25)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

La suite est une suite géométrique de raisonq₌²₃. Cette raison vérifie

0_<q_<1^.

La suite est donc strictement décroissante surN. ^Retour

(26)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 3.

Pour toutn_∈_N, on aun=f(n)avec f la fonction définie par f(x)₌^p3x₊1^.

On étudie le sens de variation de la fonctionf sur[0;_+∞[.

(27)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

La fonctionf :x_7→^p3x₊1 est la composée de la fonction g:x_7→3x₊1 suivie de la fonctionh:x_7→^px.

(28)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 3.

Sens de variation def.

La fonctiong:x_7→3x₊1 est strictement croissante sur[0;_+∞[ à valeurs dans [1;_+∞[;

(29)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

la fonctionh:x_7→^px est strictement croissante sur[1;_+∞[.

(30)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 3.

Sens de variation def.

Propriété

La composée de deux fonctions strictement croissantes est strictement croissante.

(31)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Propriété

Doncf est strictement croissante sur[0;_+∞[.

(32)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Correction 3.

Sens de variation de(u_n).

Pour toutn_∈_N, on aun=f(n)avec f strictement croissante sur [0;_+∞[.

La suite(un)est donc strictement croissante surN.

Retour

(33)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

3 Théorie

(34)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Définitions.

Définition (Suite croissante)

Dire qu’une suite(un)est croissante surN signifie que pour toutn, unÉun₊1.

u0 u1 u2 u3 u4 unun₊1

Définition (Suite décroissante)

Dire qu’une suite(un)est décroissante surNsignifie que pour toutn, un₊1Éun.

u0

u1

u2

u3

u4

un

un₊1

(35)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut étudier le signe de un₊1−un;

(36)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Méthodes.

si tous les termes sont strictement positifs, comparer ^u_uⁿ⁺¹

n et le réel 1 ;

(37)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

n et le réel 1 ;

si la suite est arithmétique ou géométrique, déterminer sa raison ;

(38)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Méthodes.

n et le réel 1 ;

s’il existe une fonctionf telle que pour tout non aun=f(n), étudier les variations de f sur[0;_+∞[;

(39)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

n et le réel 1 ;

s’il existe une fonctionf telle que pour tout non aun=f(n), étudier les variations de f sur[0;_+∞[;

s’il existe une fonctionf telle que pour toutnon aun₊1=f(un), étudier les variations de f et utiliser le principe de récurrence.

(40)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Signe deu_n

+1−u_n.

Propriété

Si pour toutn_∈Non a

un₊1−un>0 alors la suite est croissante surN; un₊1−un<0 alors la suite est décroissante surN.

(41)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Propriété

Soit(un)une suite de termes strictement positifs.

Si pour toutn_∈Non a

un+1

u_n >1 alors la suite est croissante surN;

u_n+1

un <1 alors la suite est décroissante surN.

(42)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Cas où la suite est arithmétique.

Définition

Une suite(un)est arithmétique s’il existe un réelr appeléraisontel que pour toutn_∈N,

un₊1=un+r ou un=u0+nr^.

(43)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Définition

un₊1=un+r ou un=u0+nr^. Propriété

Une suite arithmétique est

strictement croissante surNsir_>0 ;

n un

0 u0

1 u1

2 u2

3 u3

r_>0

(44)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Cas où la suite est arithmétique.

Définition

un₊1=un+r ou un=u0+nr^. Propriété

Une suite arithmétique est

strictement croissante surNsir_>0 ; strictement décroissante surN si

r_<0. n

un

3 u3

2 u2

1 u1

0 u0 r_<0

(45)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Définition

Une suite(un)est géométrique s’il existe un réelqappeléraisontel que pour toutn,

un₊1=q un ou un=u0qⁿ^.

(46)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Cas où la suite est géométrique.

Définition

un₊1=q un ou un=u0qⁿ^. Propriété

Une suite géométrique est

strictement croissante surNsi q_>1 ;

Elle n’est pas monotone siq_<0. n

un

0 u0

1 u1

2 u2

3 u3

4 u4

q_>1

(47)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Définition

un₊1=q un ou un=u0qⁿ^. Propriété

Une suite géométrique est

strictement croissante surNsi q_>1 ;

strictement décroissante si 0_<q_<1.

Elle n’est pas monotone siq_<0. n

un

4 u4

3 u3

2 u2

1 u1

0 u0

0_<q_<1

(48)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Cas oùu_n₌f(n).

Propriété

S’il existe une fonctionf telle que pour tout non aun=f(n)alors sif est croissante sur[0;_+∞[alors la suite est croissante surN;

x un

C_f

u0

u1

u2

u3

u4

(49)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Propriété

S’il existe une fonctionf telle que pour tout non aun=f(n)alors sif est croissante sur[0;_+∞[alors la suite est croissante surN; si f est décroissante sur[0;_+∞[ alors la suite est décroissante surN.

un

C_f

u0

u1

u2

u3

u4

un

C_f u0

u1

u2

u3

u4

(50)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Cas oùu_n

+1=f(u_n).

Exercice (Corrigé)

On considère la suite(un)définie par :

u0=1 et pour tout natureln,un₊1=p un+1^. On admet que pour toutn_∈N, on a 0_<un<2.

1 Étudier le sens de variation de la fonctionf:x_7→^px₊1 sur [0;2].

2 Démontrer par récurrence que (un)est croissante surN.

(51)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Solution

1 La fonction f :x_7→^px₊1 est la composée de la fonction g:x_7→x₊1 suivie de la fonction h:x_7→^px .

(52)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Cas oùu_n

+1=f(u_n).

Solution

La fonction g:x_7→x₊1est strictement croissante sur [0;2]à valeurs dans [1;3];

(53)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Solution

la fonction h:x_7→^px est strictement croissante sur[1;3[.

(54)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Cas oùu_n

+1=f(u_n).

Solution

Propriété

(55)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Solution

Propriété

Donc f est strictement croissante sur[0;2].

(56)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Cas oùu_n

+1=f(u_n).

Solution

2 Soit la propriété « un<un₊1». Montrons par récurrence qu’elle est vraie pour tout entier n.

Initialisation.

Comme u0=1 et u1=p

u0+1₌^p2, on a u0<u1. Ainsi la propriété est initialisée au rang 0.

(57)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Solution

Hérédité.

Il existe donc au moins un entier ktel que : uk<uk₊1.

Montrons que la propriété reste vraie au rang k₊1.

On sait que la fonction f est strictement croissante sur [0;2]

et que tous les termes de la suite(un)sont dans cet intervalle.

Donc si uk<uk₊1alors f(uk)_<f(uk₊1)i.e uk₊1<uk₊2

La propriété reste donc vraie au rang k₊1.

(58)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Cas oùu_n

+1=f(u_n).

Solution

Conclusion.

La propriété est donc héréditaire et initialisée au rang 0.

Elle est donc vraie pour tout entier n.

La suite(un)est strictement croissante surN.

(59)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Attention

Le sens de variation d’une suite définie par récurrence dépend de son premier termeu0.

x un

C_f y₌x

u0 x

un

C_f y₌x

u0

(60)

d’une suite TS

Exercice

Corrigé

Théorie

Sens de variation d’une suite

Cas oùu_n

+1=f(u_n).

Attention

Le sens de variation d’une suite définie par récurrence dépend de son premier termeu0.

x un

C_f y₌x

u0

(un)croissante

u0

u1

u2

x un

C_f y₌x

u0

(un)décroissante u0

u1

u2

Retour