Première spécialité mathématiques − 2020 / 21 Jeudi 20 mai 2021
Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1
Exercice 1 − − − 4444 pts − pts pts pts
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = n−1
n+2
1) Calculer les termes u0 à u3.
2) Conjecturer le sens de variations de la suite (un).
3) Montrer que un+1−un = 3 (n+3)(n+2).
4) En déduire la démonstration de la conjecture exprimée à la question 2.
Exercice 2 Exercice 2 Exercice 2
Exercice 2 − − − 4444 pts − pts pts pts
On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : vn = n3+n+1
1) Calculer les termes v0 à v3.
2) Conjecturer le sens de variations de la suite (un).
3) Démontrer cette conjecture en utilisant une fonction.
Exercice 3 Exercice 3 Exercice 3
Exercice 3 − − − 4444 pts − pts pts pts
On considère la suite (wn) définie par :
w0 = 3 et pour tout nà 0 : wn+1 = (n+1)wn.
1) Calculer les termes w1 à w3.
2) Conjecturer le sens de variations de la suite (wn).
3) Calculer wn+1
wn
.
4) On admet que la suite (wn) est toujours positive.
En déduire la démonstration de la conjecture exprimée à la question 2.
Exercice 4 Exercice 4 Exercice 4
Exercice 4 − − − 8888 pts − pts pts pts
Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des myrtilles.
Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture.
Le producteur a remarqué que, parmi les clients, 9 sur 10 achètent des fruits à confiture.
Dans ce cas, c'est la myrtille qui est achetée dans 60% des cas, la groseille dans 30% des cas et la framboise dans les 10% restant.
Dans le cas des clients qui achètent des fruits à déguster, la moitié d'entre eux choisissent les framboises, et les autres choisissent de façon équivalente des groseilles ou des myrtilles.
On note :
• C l'événement "le client achète des barquettes de fruits à confiture"
• D l'événement "le client achète des barquettes de fruits à déguster"
• F l'événement "le client achète des framboises"
• M l'événement "le client achète des myrtilles"
• G l'événement "le client achète des groseilles".
1) Représenter la situation grâce à un arbre de probabilités de ce type :
2) Calculer les probabilités suivantes :
a) qu'un client achète une barquette de groseilles à déguster b) de l'événement D∩M
3) Le producteur fixe les prix de ses barquettes de la façon suivante :
• une barquette de groseilles à déguster est de 5 €
• une barquette de groseilles à confiture est de 3 €
• les barquettes de framboises sont vendues 1 € plus cher que celles de groseilles
• les barquettes de myrtilles sont vendues 2 € plus cher que celles de groseilles.
On note X la variable aléatoire égale au prix payé par un client achetant une barquette.
a) Dresser la loi de la variable X dans un tableau.
b) Calculer l'espérance de X et proposer une interprétation de celle-ci.
c) Un week-end, le producteur a prévu de vendre 300 barquettes de fruits rouges. Quel montant peut-il espérer percevoir ?
Exercice 5 Exercice 5 Exercice 5 Exercice 5− 1 pt hors barème 1 pt hors barème 1 pt hors barème 1 pt hors barème
Déterminer le sens de variation de la suite (vn) définie pour tout nà 0 par vn = 2n+(-1)n. C
L
D L
F
G M
M F
G
