Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f

(1)

PanaMaths Avril 2007

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f

_n

définie sur 0;1

^⎡_⎣ ^⎤_⎦

par :

( )

ⁿ

¹

f t

n

= t − t On pose alors :

( )

1 1

0 0 ⁿ

1

n n

I = ∫ f t dt = ∫ t − tdt

1. Justifier l’existence de I

_n

. 2. Calculer I

₀

.

3. Déterminer une relation de récurrence entre I

_n

et I

_n₋₁

. 4. Calculer I

_n

pour tout entier naturel n.

Analyse

Suites et intégrales … Un mélange classique permettant, à la dernière question, d’obtenir une jolie expression ☺. Au préalable, il aura fallu effectuer une intégration partie (question 3).

Une fois la relation de récurrence établie, on doit essentiellement effectuer une manipulation de factorielles …

Résolution

Question 1.

Pour tout entier naturel n, la fonction f_n est continue sur l’intervalle

[ ]

^{0 ; 1} comme produit de deux fonctions continues sur cet intervalle. Elle y est donc intégrable.

( )

1

, 0 _n

n f t dt

∀ ∈^`

∫

^existe.

(2)

PanaMaths Avril 2007 Question 2.

On a :

( )

¹

( )

³ ¹

1 1

2 2

0 0 0

0

2 2 2

1 1 1 0

3 3 3

I =

∫

−tdt=

∫

−t dt= −⎡⎢⎣ −t ⎤⎥⎦ = − −⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠=

0

2

=3 I

Question 3.

1

0 n 1 In=

∫

t −tdt

Nous pouvons procéder à une intégration par partie. La fonction t6tⁿ admet pour dérivée la fonction t6ntⁿ⁻¹. Par ailleurs, la fonction t6 1−t admet pour primitive ²

(

¹

)

³²

t6−3 −t (voir question précédente). Il vient donc :

( ) ( )

( )

1 3 1 1 3

2 1 2

0

0 0

1 1 0

1 1

1

0 0

1

2 2

1 1 1

3 3

0 2 1 1

3

2 2

1 1

3 3

2 2

3 3

n n n

n

n n

I t tdt t t n t t dt

n t t tdt

n n

t tdt t tdt

n n

I I

−

⎡ ⎤

= − = −⎢⎣ − ⎥⎦ + −

= + − −

= − − −

= −

∫ ∫

∫

∫ ∫

D’où :

1

2 2 3 2

1 3 ⁿ 3 ⁿ 3 ⁿ

n n n

I + I I ₋

⎛ + ⎞ = =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Finalement :

1

2

2 3 ⁻

= +

n n

I n I

n

(3)

PanaMaths Avril 2007 Question 4.

A partir de la relation précédente, il vient :

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2

3

0

facteurs

facteurs 2

2 3

2 2 1

2 3 2 1

2 2 1 2 2

2 3 2 1 2 1

...

2 2 1 2 2 ... 2

2 3 2 1 2 1 ... 5

2 2 1 2 2 ... 2 2

2 3 2 1 2 1 ... 5 3

n n

n

I n I

n

n n

n n I

n n n

n n n I

n n n

n n n I

n n n

−

= +

× −

= + × +

× − × −

= + × + × −

=

× − × − × ×

= + × + × − × ×

× − × − × ×

= + × + × − × ×

=

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

2 1

2 !

2 2 3 2 1 2 1 ... 5 3

2 2 2 ... 2

2 2 !

2 3 2 2 2 1 2 2 1 ... 5 4 3 2

2 1 !

2 2 !

2 3 !

2 ! 1 !

2 3 !

n

n n

n

n n n

n n

n n n n n n

n n

n

n n

n

+

×

+ × + × − × × ×

+ × × ×

= × × ×

+ × + × + × × − × × × × ×

= × × × × +

+

× × +

= +

( )

2 1

2 ! 1 !

2 3 !

+ × × +

= +

n n

I n