Pour tout entier naturel n , on dénit une fonction f

(1)

MPSI B 2008-2009 DS 9 29 juin 2019

Exercice 1

Pour tout entier naturel n , on dénit une fonction f

n

sur ]0, 1] par

∀x ∈]0, 1] : f

n

(x) = 1 + x

ⁿ

(1 + x

ⁿ⁺¹

) √

x

Pour tout a ∈]0, 1] , la restriction à [a, 1] de f

n

est clairement continue. On dénit une fonction J

n

dans ]0, 1] par :

∀a ∈]0, 1] : J

n

(a) = Z

1

a

f

n

(x)dx

1. On dénit une fonction g

n

dans [0, 1] par :

g

_n

(x) =

( f

n

(x) si x ∈]0, 1]

0 si x = 0

La fonction g

_n

est-elle continue par morceaux dans [0, 1] ? Que peut-on en conclure ? 2. Montrer que, pour tout a ∈]0, 1] , la suite (J

n

(a))

_n∈N

est monotone. En déduire qu'elle

est convergente. On note J (a) sa limite.

3. Montrer que pour tout entier n , la fonction J

_n

est monotone. Préciser son sens de variation. Montrer que, pour tout entier n , la fonction J

_n

admet en 0 une limite nie (notée j

_n

).

4. Dans cette question plus particulièrement, on citera très précisément les théorèmes utilisés

a. Montrer que

∀x ∈]0, 1] : 1

√ x ≤ f

n

(x) ≤ 1 + x

ⁿ

√ x

b. Pour a ∈]0, 1] , calculer J (a) .

c. Montrer que la suite (j

_n

)

_n∈_N

converge vers 2.

5. Montrer que

0 ≤ j

_n

− 2 ≤ 1 (n +

¹₂

)(n +

³₂

)

Exercice 2

Soit p et q deux entiers et A ∈ M

p,q

( R ) , pour toutes parties (non vides) I de {1, 2, · · · , p}

et J de {1, 2, · · · , q} :

I = {i

1

, i

2

, · · · , i

s

} ⊂ {1, 2, · · · , p}

J = {j

1

, j

2

, · · · , j

t

} ⊂ {1, 2, · · · , q}

on dénit une matrice A

IJ

∈ M

s

( R ) dite extraite de A par :

∀(u, v) ∈ {1, · · · , s} × {1, · · · , t} : terme u, v de A

IJ

= a

i_uj_v

Par exemple : A =





1 2 3 4

−1 3 5 7

8 −6 −5 10



 I = {2, 3} J = {3, 4} A

_IJ

=

5 7

−5 10

L'objet de cet exercice est de montrer que le rang de A est la taille de la plus grande matrice carrée inversible extraite c'est à dire le plus grand des s pour lesquels il existe des parties à s éléments I et J telles que A

IJ

soit inversible.

Soit E un R-espace vectoriel de dimension p , soit U = {u

1

, · · · , u

p

} une base de E et V = {v

1

, · · · , v

q

} une famille de vecteurs de E tels que :

A = Mat

U

V 6= 0

_M_p,q(R)

Pour toutes parties I de {1, · · · , p} et J de {1, · · · , q} , on dénit : I est le complémentaire de I dans {1, · · · , p} .

J est le complémentaire de J dans {1, · · · , q} .

U

I

= {u

i

, i ∈ I} , E

_I

= Vect (U

I

) . On utilisera librement le fait que E

_I

et E

_I

sont des sous-espaces supplémentaires de E .

p

_I

est la projection sur E

_I

parallélement à E

_I

. V

_J

= {v

_j

, j ∈ J } , V

_J

= Vect (V

_J

) .

On dénit enn un entier r par :

il existe des parties à r éléments I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} telles que A

IJ

inversible.

pour toutes parties à r + 1 éléments I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} (s'il en existe), A

IJ

n'est pas inversible.

1. Montrer que r ≥ 1 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0809E

(2)

MPSI B 2008-2009 DS 9 29 juin 2019

2. a. Pour toutes parties (non vides) I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} , montrer que A

IJ

est la matrice dans une certaine base d'une certaine famille de vecteurs.

On précisera soigneusement l'espace vectoriel, la base et la famille.

b. En déduire que r ≤ rg(A) .

3. Pour toutes parties (non vides) I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} , montrer que la restriction de p

I

à V

J

est injective si et seulement si

E

_I

∩ V

J

= {0

E

}

4. Soit J une partie (non vide) de {1, 2, · · · , q} telle que V

J

soit libre. Montrer que V

J

est une base de E ou que l'on peut compléter cette famille par des vecteurs de U pour former une base de E .

5. Montrer que r = rg(A) .

Problème

L'objet de ce problème

¹

est de montrer le résultat suivant.

Lorsque f ∈ C

ⁿ

( R ) est telle que f et f

⁽ⁿ⁾

soient bornées alors, pour tous les k entre 1 et n − 1 , la fonction f

^(k)

est bornée.

Pour cela, on introduit des matrices et on utilisera un résultat relatif à ces matrices.

Soit m un entier non nul, on dénit une matrice carrée V

m

∈ M

m

( R ) et une matrice ligne L

m

∈ M

1,m

( R ) par :

V

m

=







1 1

²

· · · 1

^m

2 2

²

· · · 2

^m

... ... ... ...

m m

²

· · · m

^m







L

_m

=

(−1)

^m−1

m

1 · · · (−1)

^m−k

m

k

· · · (−1)

⁰

m

On se propose de montrer de deux manières diérentes que : L

m

V

m

=

0 0 · · · 0 m!

1d'après Centrale-Supélec 2001 PC Maths 1

Partie I

Soit E le R-espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré inférieur ou égal à m (y compris le polynôme nul) et divisibles par X .

1. Montrer que, pour tout i entre 1 et m , il existe un unique polynôme Λ

i

∈ E tel que :

∀j ∈ {1, · · · , m} : f Λ

_i

(j) = δ

_i,j

2. Préciser, pour i entre 1 et m , le coecient dominant de L

_i

.

3. Montrer que L = (Λ

₁

, · · · , Λ

_m

) est une base de E . Soit P ∈ E , préciser la matrice Mat

_L

P des coordonnées. Que peut-on en déduire pour V

_m

?

4. Montrer que l'application ϕ

ϕ :

( E → R P → P ]

^(m)

(0) est une forme linéaire. Préciser Mat

_L

(ϕ) .

5. Montrer sans calcul que V

m

est inversible. Quel renseignement la question 2. nous donne-t-elle sur V

_m⁻¹

?

6. Démontrer la formule annoncée : L

m

V

m

=

0 0 · · · 0 m!

Partie II

Dans cette partie m est un entier naturel non nul. Par développement limité à l'ordre m en 0 on entend un développement limité dont le reste est o(x

^m

) .

1. Soit k ∈ {1, · · · , m} . Former le développement limité à l'ordre m en 0 de

x → e

^kx

2. Former le développement limité à l'ordre m en 0 de

x → (e

^x

− 1)

^m

3. Soit j un entier entre 1 et m . Écrire le terme 1, j du produit matriciel L

m

V

m

. 4. Démontrer la formule annoncée :

L

_m

V

_m

=

0 0 · · · 0 m!

2

(3)

MPSI B 2008-2009 DS 9 29 juin 2019

Partie III

1. Soit f ∈ C

²

( R ) telle que |f | est bornée par un réel M

₀

et |f

⁽²⁾

| bornée par un réel M

₂

. a. Soit x un réel quelconque et h un réel strictement positif quelconque. Écrire les formules de Taylor avec reste de Lagrange à l'ordre deux entre x et x + h puis entre x et x − h .

b. En déduire :

∀x ∈ R , ∀h > 0 : |f

⁰

(x)| ≤ M

₀

h + M

₂

2 h c. En déduire que |f

⁰

| est bornée par

p 2M

₀

M

₂

2. Soit f ∈ C

³

( R ) telle que |f | est bornée par un réel M

₀

et |f

⁽³⁾

| bornée par un réel M

₃

. a. Soit x un réel quelconque et h un réel strictement positif quelconque. Écrire les formules de Taylor avec reste de Lagrange à l'ordre trois entre x et x + h puis entre x et x − h .

b. En déduire que |f

⁰

| est bornée par 1

2 9M

₀²

M

3

¹3

c. La fonction |f

⁰⁰

| est-elle bornée ?

Partie IV

Soit f ∈ C

ⁿ

( R ) , on suppose |f | bornée par M

₀

et |f

⁽ⁿ⁾

| bornée par M

_n

. On dénit aussi K

_h

par :

K

h

= 2M

0

+ ((n − 1)h)

ⁿ

n! M

n