Pour tout entier naturel n , on dénit le polynôme Q n à coecient complexes par

MPSI B 2008-2009 Énoncé du DM 12 11 février 2020

Problème

Pour tout entier naturel n , on dénit le polynôme Q _n à coecient complexes par

: Q n = 1

2i (X + i) ⁿ⁺¹ − (X − i) ⁿ⁺¹ .

1. a. Déterminer le degré de Q n et son coecient dominant.

b. Quel est le polynôme obtenu en substituant −X à X dans Q n ? Que peut-on en déduire pour l'ensemble des racines de Q n ?

2. Soit r ∈ N

et p ∈ J 0, r K. Préciser le coecient de X ^2r−2p dans Q 2r puis un polynôme S r ∈ R [X] permettant d'écrire

Q 2r = c S r (X ² ).

Le chapeau traduit la substitution de X par X ² dans S r .

3. En utilisant l'ensemble U n+1 des racines n + 1 -ièmes de l'unité, déterminer les racines de Q n dans C. En déduire la décomposition de Q n en facteurs irréductibles de R [X ] . 4. Soit r ∈ N

. Prouver les égalités suivantes :

r

X

k=1

cotan kπ 2r + 1

²

= r(2r − 1)

3 ,

r

X

k=1

1

sin _2r+1 ^{kπ 2} = 2r(r + 1)

3 .

5. Établir les inégalités

∀x ∈ i 0, π

2 h

: (cotan x) ² ≤ 1

x ² ≤ 1 (sin x) ² .

6. Soit r ∈ N

. Déduire de la question précédente un encadrement de

r

X

k=1

1 kπ 2r+1

² .

7. Pour tout entier naturel non nul n , on pose S n = P n k=1

1

k

. Montrer la convergence de (S n ) _n∈N

et préciser sa limite.

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pour les origines de cette idée, voir le chapitre de Raisonnements divins de M. Aigner et G.M. Ziegler (Springer)

Exercice 1

Cet exercice repose sur l'utilisation de sommes de Riemann. Il convient de citer le théo- rème utilisé et de préciser la fonction à laquelle on l'applique.

Deux suites (a _n ) _n∈

et (b _n ) _n∈

sont dénies par :

∀n ∈ N

, a _n =

n−1

X

k=0

n

(n + k) ² , b _n = 1 2 −

n−1

X

k=0

n (n + k) ² . 1. Calculer

Z 1

0

dx (1 + x) ² . 2. Montrer la convergence et calculer la limite de (a n ) n∈

. 3. Soit F ∈ C ² ([a, b]) .

a. Appliquer à la fonction F la formule de Taylor avec reste intégral entre a et b à l'ordre 1 .

b. En déduire l'existence d'un c ∈ [a, b] tel que

F (b) = F(a) + (b − a)F

(a) + (b − a) ²

2 F

(c) (reste de Lagrange) . 4. a. Pour n ∈ N

, en utilisant la question 3.b. à des intervalles et à une fonction

soigneusement précisés, montrer que nb n est une somme de Riemann.

b. En déduire un développement limité de la suite (a n ) _n∈N

.

Exercice 2

Cet exercice repose sur l'utilisation de la décomposition en éléments simples.

Montrer la convergence et calculer la limite de la suite

n

X

k=3

4k − 3 k(k − 2)(k + 2)

!

n∈

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