Pour tout entier naturel n , on dénit le polynôme Q

(1)

MPSI B DS 07 11 février 2020

Problème I

Pour tout entier naturel n , on dénit le polynôme Q

n

à coecient complexes par

¹

: Q

n

= 1

2i (X + i)

ⁿ⁺¹

− (X − i)

ⁿ⁺¹

. 1. a. Déterminer le degré de Q

n

et son coecient dominant.

b. Quel est le polynôme obtenu en substituant −X à X dans Q

n

? Que peut-on en déduire pour l'ensemble des racines de Q

n

?

2. Soit r ∈ N

^∗

et p ∈ J 0, r K. Préciser le coecient de X

^2r−2p

dans Q

2r

puis un polynôme S

r

∈ R [X] permettant d'écrire

Q

_2r

= c S

_r

(X

²

).

Le chapeau traduit la substitution de X par X

²

dans S

r

.

3. En utilisant l'ensemble U

n+1

des racines n + 1 -ièmes de l'unité, déterminer les racines de Q

n

dans C. En déduire la décomposition de Q

n

en facteurs irréductibles de R [X ] . 4. Soit r ∈ N

^∗

. Prouver les égalités suivantes :

r

X

k=1

cotan kπ 2r + 1

2

= r(2r − 1)

3 ,

r

X

k=1

1 sin

_2r+1^kπ

2

= 2r(r + 1)

3 .

5. Établir les inégalités

∀x ∈ i 0, π

2 h : (cotan x)

²

≤ 1

x

²

≤ 1 (sin x)

²

.

6. Soit r ∈ N

^∗

. Déduire de la question précédente un encadrement de

r

X

k=1

1

kπ 2r+1

²

.

7. Pour tout entier naturel non nul n , on pose S

_n

= P

n k=1

1

k²

. Montrer la convergence de (S

_n

)

_n∈_N^∗

et préciser sa limite.

1pour les origines de cette idée, voir le chapitre de Raisonnements divins de M. Aigner et G.M. Ziegler (Springer)

Exercice

Si P est un polynôme à coecients réels et x un nombre réel, on convient de noter P e (x) le nombre réel obtenu en substituant x à X dans P .

Dans tout le problème, n et k sont deux entiers xés :

n ≥ 3 1 < k < n

Pour tout entier m , R

m

[X ] désigne le R-espace vectoriel formé par les polynômes de degré inférieur ou égal à m et le polynôme nul. On note en particulier

E = R

2n−2

[X ] A = R

n−1

[X ] On se donne n nombres réels

x

1

< x

2

< · · · < x

n

Il est à noter que, parmi ces nombres, x

_k

(avec k xé au début) va jouer un rôle particulier.

On dénit le polynôme L :

L = (X − x

1

)(X − x

2

) · · · (X − x

n

) Pour chaque entier i entre 1 et n , on dénit un polynôme L

i

par :

L

_i

= Y

j∈{1,···,n}−{i}

X − x

_j

x

i

− x

j

Partie I

On dénit une application Φ de E dans R

²ⁿ⁻¹

par : P →

P(x e

1

), P e (x

2

), · · · , P e (x

n

), f P

⁰

(x

1

), · · · , P f

⁰

(x

k−1

), f P

⁰

(x

k+1

), · · · , f P

⁰

(x

n

) Il est à noter que P f

⁰

(x

_k

) ne gure pas dans la famille.

1. Montrer que si un polynome P est dans le noyau de Φ , il est divisible par L . 2. Montrer que Φ est un isomorphisme.

Pour chaque (t

1

, · · · , t

n

) ∈ R

ⁿ

, il existe donc un unique polynôme (noté T ) tel que Φ(T ) = (t

₁

, · · · , t

_n

, 0, 0, · · · , 0)

La suite du problème précise une propriété de T dans le cas particulier où t

₁

= t

₂

= · · · = t

_k

= 1

t

k+1

= t

k+2

= · · · = t

n

= 0

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0407E

(2)

MPSI B DS 07 11 février 2020

Fig. 1: Graphe de T pour n = 7 et k = 4

Partie II

Pour chaque entier i entre 1 et n et diérent de k , on dénit un polynôme Λ

i

par : Λ

_i

= (X − x

_i

)(X − x

_k

) Y

j∈{1,···,n}−{i,k}

(X − x

_j

)

²

1. Préciser pour tout couple (i, j) d'entiers entre 1 et n les valeurs de f L

i

(x

j

) .

2. Montrer que (L

₁

, · · · , L

_n

) est une base de A . Préciser les coordonnées d'un polynôme P dans cette base.

3. Pour tout i diérent de k entre 1 et n , montrer que Λ f

⁰_i

(x

i

) 6= 0 et que

∀j ∈ {1, · · · , n} : Λ f

i

(x

j

) = 0

∀j ∈ {1, · · · , n} tel que j 6= i et j 6= k : Λ f

⁰_i

(x

j

) = 0

4. a. Montrer que

(L

1

, · · · , L

n

, Λ

1

, · · · , Λ

_k−1

, Λ

k+1

, · · · , Λ

n

) est une base de E .

b. Calculer les coordonnées de T dans cette base.

5. a. Montrer que T

⁰

admet 2n − 3 racines distinctes et préciser leurs positions par rapport aux x

i

.

b. Étudier les variations de T . c. Montrer que :

∀t ≤ x

₁

: T e (t) ≥ 1

∀t ∈ R : T e (t) ≥ 0

Que peut-on conclure pour le coecient dominant de T ? Problème II

Pour tout k ∈ N, on désigne par R

k

[X] l'espace vectoriel formé par les polynômes de degré inférieur ou égal à k . Soit m et n deux entiers naturels tels que

m > 2, 0 < n < m 2

Soit A un polynôme unitaire de degré n et I un intervalle de R qui ne contient pas de racine de A . On notera

J = J 0, m K , A = X

ⁿ

+ a

_n−1

X

ⁿ⁻¹

+ · · · + a

1

X + a

0

Soit f l'application de R

m

[X ] dans R [X] dénie par f (P ) = AP

⁰

− P A

⁰

où P

⁰

et A

⁰

sont respectivement les polynômes dérivés de P et A .

1. a. Déterminer en fonction de m et n la valeur maximale p du degré de f (P) . b. Montrer que f est une application linéaire de R

m

[X] dans R

p

[X ]

c. Soit Q ∈ R [X ] tel que QA ∈ R

m

[X ] . Déterminer f (QA) .

d. En utilisant une formule de dérivation sur I , déterminer ker f . En déduire rg f . 2. Pour tout élément i de J , on pose Y

_i

= f (X

ⁱ

) .

2

(3)

MPSI B DS 07 11 février 2020

a. Montrer que la famille de polynômes (Y

i

)

_i∈J−{n}

est une base de l'image de f . b. En calculant f (A) , déterminer les coordonnées de Y

n

dans cette base.

3. a. Pour tout élément i de J , étudier le degré du polynôme Y

i

.

b. Déterminer la valeur minimale du degré d'un polynôme S non nul dans Imf . c. En utilisant la question 1.c., montrer que tout polynôme de R

p

[X] divisible par

A

²

appartient à Imf

En déduire qu'un polynôme S de R

p

[X] appartient à Imf si et seulement si le reste R de sa division par A

²

appartient à Imf .

Pour tout polynôme S de Imf , déterminer alors la valeur maximale de deg R . 4. a. Soit P ∈ R

m

[X] et S = f (P) . Déterminer l'ensemble des primitives sur I de

_A^S2

.

b. En déduire une primitive de

_A^Yⁱ2

pour tout élément i ∈ J .

5. Dans cette question, m est un entier strictement supérieur à 6. On donne A = X

³

− X + 1

a. Calculer Y

0

, Y

1

, Y

2

b. Montrer que le polynôme S = X

⁴

+ 4X

³

− 2X

²

− 2X − 1 est dans Imf . c. Déterminer une primitive de

X

⁴

+ 4X

³

− 2X

²

− 2X − 1 (X

³

− X + 1)

²

sans chercher à décomposer en éléments simples.

d. Donner une condition nécessaire et susante que doivent vérier les réels a, b, c, d, e pour que le polynôme aX

⁴

+ bX

³

+ cX

²

+ dX + e soit élément de Imf .

3