Pour tout entier naturel n , on dénit le polynôme Q n à coecient complexes par

MPSI B DM 3 11 février 2020

Énonce

Pour tout entier naturel n , on dénit le polynôme Q n à coecient complexes par

: Q n = 1

2i (X + i) ⁿ⁺¹ − (X − i) ⁿ⁺¹ .

1. a. Déterminer le degré de Q n et son coecient dominant.

b. Quel est le polynôme obtenu en substituant −X à X dans Q n ? Que peut-on en déduire pour l'ensemble des racines de Q n ?

2. Soit r ∈ N

et p ∈ J 0, r K. Préciser le coecient de X ^2r−2p dans Q 2r puis un polynôme S r ∈ R [X] permettant d'écrire

Q _2r = c S _r (X ² ).

Le chapeau traduit la substitution de X par X ² dans S r .

3. En utilisant l'ensemble U n+1 des racines n + 1 -ièmes de l'unité, déterminer les racines de Q _n dans C. En déduire la décomposition de Q _n en facteurs irréductibles de R [X ] . 4. Soit r ∈ N

. Prouver les égalités suivantes :

r

X

k=1

cotan kπ 2r + 1

²

= r(2r − 1)

3 ,

r

X

k=1

1

sin _2r+1 ^kπ 2 = 2r(r + 1)

3 .

5. Établir les inégalités

∀x ∈ i 0, π

2

h : (cotan x) ² ≤ 1

x ² ≤ 1 (sin x) ² .

6. Soit r ∈ N

. Déduire de la question précédente un encadrement de

r

X

k=1

1 kπ 2r+1

² .

7. Pour tout entier naturel non nul n , on pose S n = P n k=1

1

k

. Montrer la convergence de (S n ) n∈

et préciser sa limite.

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pour les origines de cette idée, voir le chapitre de Raisonnements divins de M. Aigner et G.M. Ziegler (Springer)

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