MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Pour tout entier naturel n , on dénit une fonction f
nsur ]0, 1] par
∀x ∈]0, 1] : f
n(x) = 1 + x
n(1 + x
n+1) √
x
Pour tout a ∈]0, 1] , la restriction à [a, 1] de f
nest clairement continue. On dénit une fonction J
ndans ]0, 1] par :
∀a ∈]0, 1] : J
n(a) = Z
1a
f
n(x)dx
1. On dénit une fonction g
ndans [0, 1] par : g
n(x) =
( f
n(x) si x ∈]0, 1]
0 si x = 0
La fonction g
nest-elle continue par morceaux dans [0, 1] ? Que peut-on en conclure ? 2. Montrer que, pour tout a ∈]0, 1] , la suite (J
n(a))
n∈Nest monotone. En déduire qu'elle
est convergente. On note J (a) sa limite.
3. Montrer que pour tout entier n , la fonction J
nest monotone. Préciser son sens de variation. Montrer que, pour tout entier n , la fonction J
nadmet en 0 une limite nie (notée j
n).
4. Dans cette question plus particulièrement, on citera très précisément les théorèmes utilisés
a. Montrer que
∀x ∈]0, 1] : 1
√ x ≤ f
n(x) ≤ 1 + x
n√ x
b. Pour a ∈]0, 1] , calculer J (a) .
c. Montrer que la suite (j
n)
n∈Nconverge vers 2.
5. Montrer que
0 ≤ j
n− 2 ≤ 1 (n +
12)(n +
32)
Corrigé
1. La fonction g
nn'est pas continue par morceaux sur [0, 1] car sa limite à droite de 0 est +∞ . Cette fonction n'est pas intégrable au sens de l'intégrabilité de la classe de MPSI.
2. Montrons que, pour x xé dans ]0, 1] , la suite (f
n(x))
n∈Nest décroissante : f
n(x) − f
n+1(x) = (1 + x
n)(1 + x
n+2) − (1 + x
n+1)
2(1 + x
n+1)(1 + x
n+2) = x
n(1 − x)
2(1 + x
n+1)(1 + x
n+2) ≥ 0 Comme chaque fonction est à valeurs positives, en intégrant ces inégalités entre a et 1 , on obtient que (J
n(a))
n∈Nest décroissante et positive donc convergente. On note J(a) sa limite.
3. Soit F
nune primitive sur ]0, 1[ de f
n. Comme f
nest à valeurs positives, F
nest crois- sante. De plus :
J
n(a) = F
n(1) − F
n(a)
donc J
nest décroissante. D'après le cours sur la convergence des fonctions monotones, J
nadmet une limite nie en 0 si et seulement si elle est majorée. Sa limite j
nsera alors la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs.
Il s'agit donc de majorer f
n:
∀x ∈]a, 1] : 1 + x
n≤ 2 1 + x
n+1≥ 1 d'où, pour tous les a ∈]0, 1] :
J
n(a) ≤ Z
1a
2dx √
x = 4(1 − √ a) ≤ 4
4. a. Pour tout x ∈]0, 1] : x
n+1≤ x
ndonc 1 + x
n+1≤ 1 + x
net
√ 1
x ≤ f
n(x) Pour tout x ∈]0, 1] : donc 1 + x
n+1≥ 1 et
f
n(x) ≤ 1 + x
n√ x
b. On intégre l'encadrement précédent entre a et 1 . Les primitives de t
−12et de t
n−12interviennent dans ce calcul. Elles sont de la forme
2 √
t 1
n + 1 2
t
n+1 2
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Aintg5MPSI B 29 juin 2019
On obtient après calculs 2(1 − √
a) ≤ J
n(a) ≤ 2(1 − √
a) + 1 n + 1
2
1 − a
n+1 2
Pour a xé dans ]0, 1] , il est clair que
1
n + 1 2
1 − a
n+1 2
n∈N
→ 0
D'autre part, on sait déjà que (J
n(a))
n∈Nconverge vers J (a) . On obtient donc par passage à la limite dans une inégalité :
2(1 − √
a) ≤ J (a) ≤ 2(1 − √ a) C'est à dire
J(a) = 2(1 − √ a)
Il est important de comprendre que ce n'est pas le théorème d'encadrement qui a été utilisé ici.
c. Revenons à l'encadrement de J
n(a) . Cette fois, pour n xé, on peut passer à la limite dans les inégalités pour a en 0 . On obtient :
2 ≤ j
n≤ 2 + 1 n + 1
2
Le théorème d'encadrement n'a toujours pas été utilisé. En revanche il est utilisé ici pour prouver, à partir de l'encadrement précédent, que (j
n)
n∈Nconverge vers 2 .
5. D'après 4.c., on sait que 0 ≤ j
n−2 . Pour l'autre inégalité, on compare en fait l'intégrale de f
navec celle de
√1xqui vaut 2(1 − √
a) . J
n(a) − 2(1 − √
a) = Z
1a
1 + x
n1 + x
n+1− 1
dx
√ x = Z
1a
x
n(1 − x) 1 + x
n+1√ dx x
Comme tout est positif, pour majorer oublions simplement le x
n+1du dénominateur : J
n(a) − 2(1 − √
a) ≤ Z
1a
x
n(1 − x) dx
√ x = Z
1a
x
n−12dx − Z
1a
x
n+12dx
Les deux intégrales se calculent : J
n(a) − 2(1 − √
a) ≤ 1 n +
121 − a
n+12− 1 n +
321 − a
n+32En passant à la limite dans les inégalités pour a en 0 : j
n− 2 ≤ 1
n +
12− 1
n +
32= 1 (n +
12)(n +
32)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/