Pour tout entier naturel n non nul, on dénit une fonction ϕ n dans R par :

MPSI B 2008-2009 DS 8 29 juin 2019

Problème

Pour tout entier naturel n non nul, on dénit une fonction ϕ _n dans R par :

∀t ∈ R : ϕ n (t) =



 



 

 3n

4 (1 − n ² t ² ) si t ∈

− 1 n , 1

n

0 si t 6∈

− 1 n , 1

n

Soit f une fonction continue (mais non nécessairement dérivable) de R dans R. Pour tout entier naturel n non nul, on dénit f _n par :

∀x ∈ R : f n (x) = Z

_n¹

−_n¹

ϕ n (t)f (x + t)dt 1. a. Tracer l'allure du graphe d'une fonction ϕ _n .

Préciser la "régularité" de ϕ _n . (Où est-elle continue, dérivable ? Où la dérivée est elle continue, dérivable ? ... ).

b. Calculer

Z

_n¹

−¹_n

ϕ n (t)dt

2. a. En utilisant un changement de variable et diverses primitives, former une expres- sion de f n (x) permettant de montrer que f n est dérivable dans R.

b. Pour tout x réel, montrer que

f _n

⁰

(x) = 3n ³ 2

Z

_n¹

−_n¹

tf(x + t)dt

3. Pour tout réel x et tout entier naturel non nul n , on pose I n (x) =

x − 1

n , x + 1 n

M n (x) = max

u∈I

n

(x) |f(u) − f (x)|

a. Montrer que

|f n (x) − f (x)| ≤ M n (x)

b. Soit J un segment (intervalle de la forme [a, b] ) de R. Pour tout naturel non nul n , on note

K n (J) = max

x∈J |f n (x) − f (x)|

Montrer que (K _n (J )) _n∈N

∗

converge vers 0 .

c. Soit x un réel xé. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la suite

(f _n (x)) _n∈

N^∗

4. Soit x un nombre réel en lequel la fonction f est dérivable. On dénit une fonction R x

par :

∀t ∈ R : f (x + t) = f (x) + tf

⁰

(x) + tR x (t)

a. Pour tout n naturel non nul, exprimer f _n

⁰

(x) en fonction de f

⁰

(x) et de

Z

_n¹

−_n¹

t ² R x (t)dt b. Montrer que (f _n

⁰

(x)) _n∈

N^∗

converge vers f

⁰

(x) .

Exercice 1

On considère

¹

le polynôme à coecients réels A = (X + 1) ²ⁿ − 1 et on pose

P _n =

n

Y

k=1

sin kπ

2n Q _n =

2n−1

Y

k=1

sin kπ 2n

1. Montrer que l'on peut écrire A = XB où B est un polynôme dont on précisera le degré, le coecient dominant et le terme constant noté b ₀ .

2. Déterminer les racines de A dans C.

3. Montrer que

P n =

2n−1

Y

k=n+1

sin kπ 2n En déduire que P _n = √

Q _n .

4. Calculer de deux façons le produit des racines de B . En déduire Q n puis P n . 5. Déterminer la décomposition de F en éléments simples avec

F = 1 A

1

d'après Mines d'Albi 2000

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0808E

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Exercice 2

On note E = C ⁰ ( R , R ) et on dénit F par

F = {g ∈ C ¹ ( R , R ) telles que g(0) = g

⁰

(0) = 0 et g

⁰

dérivable en 0 } ainsi que l'application

Φ :



 

 

 

 

E −→ F

f 7→ Φ(f ) noté Φ _f =





 R → R

x 7→

Z x 0

tf(t) dt

1. Montrer que E et F sont des R-espaces vectoriels.

2. Vérier que Φ f ∈ F et que Φ est linéaire.

3. Soit g ∈ F . On dénit f dans R par

∀x ∈ R , f (x) =





 g

⁰

(x)

x si x 6= 0 g

⁰⁰

(0) si x = 0 Montrer que f ∈ E et en déduire que Φ est surjective.

4. Montrer que Φ est un isomorphisme.

Exercice 3

Résoudre dans C le système de 3 équations à 3 inconnues x 1 , x 2 , x 3

x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ = 1 1

x 1 x 2

+ 1 x 1 x 3

+ 1 x 2 x 3

= 3 2 X

(i,j)∈{1,2,3}

²

x i

x j

= 6

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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