MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
On désigne par cotan la fonction cotangente cos sin . Soit x un nombre réel non entier.
1. a. Préciser les racines 5-èmes de e 2iπx .
b. Soit θ réel ( θ 6≡ 0 mod 2π ), simplier i Z+1 Z−1 pour Z = e iθ . 2. Déterminer les racines du polynôme complexe
(X − i) 5 (i + cotan(πx)) + (X + i) 5 (i − cotan(πx)) 3. En déduire des expressions simples pour la somme et le produit
4
X
k=0
cotan((x + k) π 5 ),
4
Y
k=0
cotan((x + k) π 5 )
Corrigé
1. a. Les racines 5-èmes de e 2iπx sont les nombres complexes e
2iπx5u avec u ∈ U 5 . On peut aussi les écrire e iθ
kavec
θ k = 2iπ
5 (x + k) pour k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
b. Si Z = e iθ ,
i Z + 1
Z − 1 = i e iθ + 1
e iθ − 1 = cotan θ 2 2. Notons P le polynôme
(X − i) 5 (i + cotan(πx)) + (X + i) 5 (i − cotan(πx)) Il est de degré 5. Comme x n'est pas entier, sin πx 6= 0 et
i + cotan πx = 1
sin πx (cos πx + i sin πx) = 1 sin πx e iπx i − cotan πx = 1
sin πx (− cos πx + i sin πx) = − 1
sin πx e −iπx
D'autre part, il est bien clair que i et −i ne sont pas racines (un des termes s'annule mais pas l'autre). Ainsi, z est racine de P si et seulement si
z + i z − i
5
= e 2iπx
L'application h z → z+i z−i est une bijection de C − {i} dans C − {1} . Comme x n'est pas entier, e 2iπx 6= 1 . Les racines de P sont donc les images réciproques par h des racines 5-ièmes de e 2iπx .
Or z+i z−i = Z si et seulement si z = i Z+1 Z−1 = cotan θ 2 lorsque Z = e iθ d'après 1.b. En utilisant le θ k déni en 1.a., on en déduit que les racines de P sont les nombres réels
cotan x + k
5 π k ∈ {0, · · · , 4}
Il paraît surprenant de ne trouver que des racines réelles car le polynôme est à coef- cients complexes. En fait tous ses coecients sont imaginaires purs, on s'en aperçoit en considérant P .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Apoly3MPSI B 29 juin 2019
3. Précisons, dans le développement de P les termes de degré 5 , 4 et 0 à l'aide du début de la formule du binôme.
P = e iπx
sin πx (X − i) 5 − e −iπx
sin πx (X + i) 5
= e iπx − e −iπx
sin πx X 5 + −e iπx − e −iπx
sin πx 5iX 4 + · · · + e iπx + e −iπx sin πx (−i)
= 2i X 5 − 5 cotan πx X 4 + · · · − cotan πx Comme on connait les racines du polynôme :
X 5 − 5 cotan πx X 4 + · · · − cotan πx =
4
Y
k=0
X − cotan x + k 5 π
On en déduit, en identiant les termes de degré 4 ou 0 ,
4
X
k=0
cotan x + k
5 π = 5 cotan πx,
4
Y
k=0
cotan x + k
5 π = − cotan πx
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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