MPSI B DS 5 le 17/01/14 29 juin 2019
Exercice
On désigne par cotan la fonction cotangente cos sin . Soit x un nombre réel non entier.
1. a. Préciser les racines 5-èmes de e 2iπx .
b. Soit θ réel ( θ 6≡ 0 mod 2π ), simplier i Z+1 Z−1 pour Z = e iθ . 2. Déterminer les racines du polynôme complexe
(X − i) 5 (i + cotan(πx)) + (X + i) 5 (i − cotan(πx)) 3. En déduire des expressions simples pour la somme et le produit
4
X
k=0
cotan((x + k) π 5 ),
4
Y
k=0
cotan((x + k) π 5 )
Problème 1. Fonctions arithmétiques.
Pour tout naturel non nul n , on désigne par D(n) l'ensemble des diviseurs de n dans N et par C(n) l'ensemble des couples de diviseurs :
C(n) =
(d 1 , d 2 ) ∈ N 2 tq d 1 d 2 = n
Une fonction arithmétique est une fonction dénie dans N ∗ et à valeurs complexes. On note F l'ensemble des fonctions arithmétiques et on dénit deux opérations notées + et ∗ ( ∗ est appelée la convolution de Dirichlet) sur F .
∀(f, g) ∈ F 2 , ∀n ∈ N ∗ :
(f + g)(n) = f (n) + g(n) (f ∗ g)(n) = X
(d
1,d
2)∈C(n)
f (d 1 )g(d 2 ) = X
d∈D(n)
f (d)g( n d )
Une fonction arithmétique f est dite multiplicative lorsque :
∀(p, q) ∈ N ∗2 , p ∧ q = 1 ⇒ f (pq) = f (p)f (q)
On dénit des fonctions arithmétiques particulières par l'image d'un naturel non nul n quelconque.
I(n) = n e 0 (n) =
( 1 si n = 1 0 si n > 1
e(n) = 1 .
d(n) est le nombre de diviseurs de n dans N.
σ(n) est la somme des diviseurs de n dans N.
fonction indicatrice d'Euler : φ(n) est le nombre de k ∈ J 1, n K premiers avec n . On pose aussi φ(1) = 1 .
fonction de Pillai (somme de pgcd)
β (n) =
n
X
k=1
k ∧ n
fonction de Möbius
µ(n) =
1 si n = 1
0 si n est divisible par un carré d'entier autre que 1 (−1) s si n est le produit de s nombres premiers distincts
On rappelle que 1 n'est pas un nombre premier. Ces notations sont valables dans tout le problème.
Partie I. Structure d'anneau
1. Exemples
a. Calculer β(6) . Calculer (σ ∗ µ)(12) .
b. Montrer que e∗e et I∗ e sont des fonctions dénies dans l'introduction (à préciser).
c. Soit p un nombre premier. Former une relation entre φ(p) , σ(p) , p et d(p) . Que vaut (µ ∗ e)(p m ) pour m naturel non nul ?
2. a. Montrer que l'opération ∗ est commutative.
b. Montrer que e 0 est l'élément neutre de l'opération ∗ . c. Pour tout n ∈ N ∗ , on note
T (n) =
(d 1 , d 2 , d 3 ) ∈ N 3 tq n = d 1 d 2 d 3
Démontrer, en utilisant T (n) que l'opération ∗ est associative.
Les autres propriétés se vériant facilement, on pourra utiliser dans la suite du pro- blème que (F, +, ∗) est un anneau commutatif d'élément unité e 0 .
3. Fonctions multiplicatives
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S1305EMPSI B DS 5 le 17/01/14 29 juin 2019
a. Soit m et n deux nombres naturels non nuls et premiers entre eux. Montrer que l'application
P :
( D(m) × D(n) → D(mn) (a, b) 7→ ab est bijective.
b. Soit f et g deux fonctions multiplicatives, montrer que f ∗ g est multiplicative.
c. Montrer que les fonctions I , e 0 , e , d , σ , µ sont multiplicatives.
4. Norme d'une fonction. Pour toute fonction arithmétique f non nulle, on dénit sa norme N (f ) par
N (f ) = min {k ∈ N ∗ tq f (k) 6= 0}
Soit f et g des fonctions arithmétiques non nulles, montrer que f ∗ g est non nulle et que N(f ∗ g) = N(f )N(g) .
Partie II. Inversion de Möbius et applications.
1. a. Montrer que µ ∗ e = e 0 .
b. Soit f et g deux fonctions arithmétiques, montrer que f = g ∗ e ⇔ g = f ∗ µ
2. a. Soit n un naturel non nul, d et δ des diviseurs de n tels que n = dδ . On introduit deux ensembles
F = {k ∈ J 1, d K tq k ∧ d = 1} ∆ = {s ∈ J 1, n K tq s ∧ n = δ}
Montrer que k 7→ δk dénit une bijection de F vers ∆ . Comment s'exprime le nombre d'éléments de F ?
b. Discuter, suivant le paramètre a ∈ J 1, n K du nombre de solutions de l'équation n ∧ x = a d'inconnue x ∈ J 1, n K.
c. Montrer que I = e ∗ φ puis que φ = I ∗ µ . d. Montrer que β ∗ e = I ∗ I .
3. Théorème de Makowski a. Montrer que σ ∗ φ = I ∗ I
b. Montrer que, si n est un naturel non nul vériant φ(n) + σ(n) = nd(n) , alors n est un nombre premier.
Problème 2. Polynômes positifs.
On dira qu'un polynôme est réel lorsque que tous ses coecients sont réels. On dira qu'il est positif lorsqu'il est réel, non nul et que tous ses coecients sont positifs ou nuls. On dira qu'il est à valeurs positives lorsqu'il est réel et que
∀x ∈ R, P e (x) ≥ 0
1. Déterminer, pour les polynômes suivants, s'ils vérient ou non les propriétés dénies au dessus
X 2 + X + 1, X 2 − X + 1, X 2 + 2X + 1 2 2. Soit m un entier non nul. Déterminer l'ensemble des θ de ]0, π[ vériant
sin 2θ ≥ 0, sin 3θ ≥ 0, · · · , sin(m + 1)θ ≥ 0
3. Soit C = X 2 + c 1 X + c 2 un polynôme réel sans racine réelle. Ses racines complexes sont notées u 1 et u 2 avec Im u 1 > 0 . On note φ ∈] − π, π] l'argument principal de u 1
et r son module.
a. Soit m ∈ N ∗ . Montrer que le polynôme
D m = (X m+1 − u m+1 1 )(X m+1 − u m+1 2 ) est réel. Sous quelle condition sur m et φ est-il positif ?
b. Préciser, sous la forme d'un produit, un polynôme B m tel que B m C = D m . c. On pose B m = b 0 + b 1 X + · · · + b 2m X 2m . Pour k ∈ {0, · · · , m} , exprimer b k et
b 2m−k sous une forme trigonométrique simple.
d. Montrer qu'il existe un entier m tel que B m et D m soient positifs.
4. Soit C un polynôme réel, de coecient dominant strictement positif, sans racine réelle.
Montrer qu'il existe deux polynômes positifs B et D tels que BC = D .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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