Problème I. Suites de Engel

MPSI B Énonce du DS 4 29 juin 2019

Problème I. Suites de Engel

Soit T l'ensemble des suites croissantes de nombres entiers supérieurs ou égaux à 2.

À chaque suite (q n ) n∈ N

élément de T on associe la suite (s n ) n∈ N

dénie par : s 1 = 1

q ₁ , s 2 = 1 q ₁ + 1

q ₁ q ₂ , · · · , s n = 1 q ₁ + 1

q ₁ q ₂ + · · · + 1 q ₁ q ₂ · · · q _n 1. a. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 1. Montrer que ( P n

k=1 1

λ

) n∈ N

est convergente et que sa limite est un élément de i

1 λ , _λ−1 ¹ i

. b. Montrer que

∀p ∈ N ^∗ , ∀n ≥ p, s _n ≤ s _p−1 + 1

q 1 · · · q p−1 (q p − 1)

c. Démontrer que, pour toute suite (q n ) _n∈N

élément de T la suite (s n ) _n∈N

converge et que sa limite x est un élément de ]0, 1] . On dira, dans la suite du problème, que (q n ) n∈ N

est un développement de Engel de x .

2. a. Soit (q _n ) _{n∈ N}

une suite stationnaire de T . Montrer que x est un nombre rationnel.

b. Montrer

q ₁ = 1 + b 1

x c et ∀k ∈ N ^∗ , q _k+1 − 1 =

1

q 1 q 2 · · · q k (x − s k )

3. a. Soit (q _n ) _{n∈ N}

et (q ⁰ _n ) _{n∈ N}

deux suites dans T . Les suites qui leurs sont respective- ment associées sont notées (s _n ) _{n∈ N}

et (s ⁰ _n ) _{n∈ N}

de limites x et x ⁰ . On suppose :

∃p ∈ N ^∗ tq q p < q ⁰ _p et ∀n ∈ {1, . . . , p − 1} , q n = q ⁰ _n Montrer que x ⁰ < x .

b. Montrer que l'application de T dans ]0, 1] qui, à chaque suite (q n ) n∈ N

, associe la limite de (s _n ) _{n∈ N}

est injective.

4. Fonction de Briggs.

On dénit une fonction β dans [0, 1[ par :

∀x ∈]0, 1[: β (x) =







0 si x = 0

qx − 1 avec q = b 1

x c + 1 si x > 0

a. Montrer que 0 < β(x) ≤ x pour x ∈]0, 1[ .

b. En un point x de ]0, 1[ , étudier les limites à gauche et à droite (strictement ou largement). Préciser les points où β est continue, les points où β (x) = x , quelle est la limite strictement à droite de ces points ?

c. La fonction β est-elle continue en 0 ? d. Tracer le graphe de β .

5. Algorithme de Briggs

Pour tout x de ]0, 1[ et tout entier n , on pose x n = β ◦ · · · ◦ β

| {z }

n fois

(x) = β ⁿ (x) . a. Montrer que la suite (x n ) _n∈

N est convergente. Dans tout le reste du problème, cette limite est notée r(x) .

b. Soit x ∈]0, 1[ tel que r(x) > 0 , montrer qu'il existe q et N entiers tels que :

∀n ≥ N : x _n = 1 q

6. a. Montrer que tout x ∈]0, 1[ admet un unique développement de Engel.

b. Soient a et b deux entiers naturels tels que 0 < a < b . Montrer que β( a

b ) = a − r b

où r est le reste de la division euclidienne de b par a .

c. Montrer que le développement de Engel d'un nombre est stationnaire si et seule- ment si ce nombre est rationnel.

7. Déterminer la suite (q n ) _n∈N

telle que la limite de la suite (s n ) _n∈N

associée soit

x = 1

2 (1) x = 3

4 (2)

8. Soit x l'approximation décimale de _π ¹ fournie par votre calculatrice. Calculer, en jus- tiant, les premiers entiers q ₁ , q ₂ , · · · , q _n jusqu'à ce que

1 q 1 q 2 · · · q n

< 10 ⁻¹⁰

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Problème II. Polynômes positifs

On dira qu'un polynôme est réel lorsque que tous ses coecients sont réels. On dira qu'il est positif lorsqu'il est réel, non nul et que tous ses coecients sont positifs ou nuls. On dira qu'il est à valeurs positives lorsqu'il est réel et que

∀x ∈ R, P e (x) ≥ 0

1. Déterminer, pour les polynômes suivants, s'ils vérient ou non les propriétés dénies au dessus

X ² + X + 1, X ² − X + 1, X ² + 2X + 1 2 2. Soit m un entier non nul. Déterminer l'ensemble des θ de ]0, π[ vériant

sin 2θ ≥ 0, sin 3θ ≥ 0, · · · , sin(m + 1)θ ≥ 0

3. Soit C = X ² + c ₁ X + c ₂ un polynôme réel sans racine réelle. Ses racines complexes sont notées u 1 et u 2 avec Im u 1 > 0 . On note φ ∈] − π, π] l'argument principal de u 1

et r son module.

a. Soit m ∈ N ^∗ . Montrer que le polynôme

D _m = (X ^m+1 − u ^m+1 ₁ )(X ^m+1 − u ^m+1 ₂ ) est réel. Sous quelle condition sur m et φ est-il positif ?

b. Préciser, sous la forme d'un produit, un polynôme B m tel que B m C = D m . c. On pose B _m = b ₀ + b ₁ X + · · · + b _2m X ^2m . Pour k ∈ {0, · · · , m} , exprimer b _k et

b _2m−k sous une forme trigonométrique simple.

d. Montrer qu'il existe un entier m tel que B m et D m soient positifs.

4. Soit C un polynôme réel, de coecient dominant strictement positif, sans racine réelle.

Montrer qu'il existe deux polynômes positifs B et D tels que BC = D .

Exercice

Dans toute cette partie, x désigne un élément de ]0, 1[ .

1. Pour tout nombre entier naturel n , on pose s(n, 0) = 1 + x + · · · + x ⁿ . Calculer s(n, 0) et sa limite lorsque n tend vers +∞ .

Pour tout nombre entier naturel n , on pose s(n, 1) = 1 + 2x + · · · + (n + 1)x ⁿ .

2. a. Exprimer (1 − x)s(n, 1) à l'aide de s(n, 0) , en déduire la limite de s(n, 1) lorsque n tend vers +∞ .

b. Retrouver le résultat du a. à l'aide de la dérivation.

3. Pour tout couple (n, r) de nombres naturels, on pose s(n, r) =

n

X

k=0

r + k r

x ^k

a. On suppose que n et r sont des entiers non nuls. Montrer que (1 − x)s(n, r) = s(n, r − 1) −

r + n r

x ⁿ⁺¹ . b. Déterminer les limites des suites (n ^r x ⁿ ) _{n∈ N} , ( ^r+n _r

x ⁿ ) _{n∈ N} . Déterminer la limite de (s(n, r)) _n∈N .

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