à valeurs dans . Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

PanaMaths Mai 2018

Soit f une fonction continue sur 0 ;1

^⎡_⎣ ^⎤_⎦

à valeurs dans . Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

1 2 n n

k

k k

u f

n n

=

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∑

1 2

sin

n n

k

k k

v f

n n

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ∑

1. Montrer que la suite ( ) ^u

_{n n∈} ^*

converge.

2. Montrer que la suite ( ) ^v

_{n n∈} ^*

converge vers la même limite que celle de la suite ( ) ^u

_{n n∈} ^*

^.

Analyse

Dans la première question, on identifie sans difficulté une somme de Riemann associée à une fonction continue sur un segment. Dans la seconde question, on doit penser à l’équivalence, pour k fixé : sin k₂ k₂

n ^+∞n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠∼ …

Résolution

Question 1.

Pour tout entier naturel n non nul, on a : ₂

1 1

n 1 n

n

k k

k k k k

u f f

n n n n n

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠=

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠^.

On reconnaît une somme de Riemann associée à la fonction ^{x x f x}

( )

qui est continue sur l’intervalle

[ ]

^{0 ; 1} comme produit de deux telles fonctions. On a alors immédiatement la convergence de la suite

( )

un n_∈ ^* et, plus précisément : ¹

( )

0

lim _n d

n u x f x x

→+∞ =

∫

^.

La suite

( )

un n_∈ ^* converge vers ¹

( )

0

d x f x x

∫

^.

PanaMaths Mai 2018 Question 2.

Pour n fixé non nul, on a k∈ 1 ;n et donc : 1; , lim ₂ 0

n

k n k

→+∞n

∀ ∈ = .

On a donc : 1 ; , sin k₂ k₂

k n

n ^+∞n

⎛ ⎞

∀ ∈ ⎜⎝ ⎟⎠∼ .

Soit alors ε >0 fixé.

D’après l’équivalence précédente, il existe un entier naturel N_ε tel que :

2

2

sin

1 k n N n

k n

ε ε

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

≥ ⇒ − ≤ , soit sin k₂ k₂ k₂

n n ε n

⎛ ⎞ − ≤

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Pour tout entier naturel n>N_ε on a alors :

2 2

1

2 2

1

2 2 2 2

1

2 2 2

1

sin .

sin .

sin . sin .

sin . .

sin

n

n n

k n

k

N n

k k N

N n

k k N

k k k

v u f

n n n

k k k

n n f n

k k k k k k

f f

n n n n n n

k k k k k

f f

n n n n n

k

ε

ε ε

ε

ε

=

=

= =

= =

⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞

− = ⎜⎝ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎟⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

≤

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

2 2 2

1 1

. .

N n

k k

k k k k

f f

n n n n n

ε ε

= =

⎛ ⎞− ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

Pour k fixé dans 1 ;N_ε , on a lim sin ₂ lim ₂ 0

n n

k k

n n

→+∞ →+∞

⎛ ⎞ = =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et, par continuité de f :

( )

lim 0

n

f k f

→+∞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠n . D’où : lim sin _{2 2} . 0

n

k k k

n n f n

→+∞

⎛ ⎞− ⎛ ⎞ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ et enfin, la somme comportant un

nombre fini de termes : _{2 2}

1

lim sin . 0

N

n k

k k k

n n f n

ε

→+∞ =

⎛ ⎞− ⎛ ⎞ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

^.

Il existe donc un entier naturel N tel que :

( )

_{2 2}

1

max , sin .

N

k

k k k

n N N f

n n n

ε

ε ε

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≥ ⇒

∑

⎜⎝ ⎟⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ ^.

On a par ailleurs : ₂

1 1

. 1 .

n n

k k

k k k k

f f

n n n n n

= =

⎛ ⎞ = ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

^.

La fonction f étant continue sur le segment

[ ]

^{0 ; 1} , il en va de même pour la fonction f et pour la fonction ^{x x f x.}

( )

^.

PanaMaths Mai 2018

On en déduit que la suite de terme général

1

1 .

n n

k

k k

w f

n ₌ n n

=

∑

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ converge et :

1

( )

2

1 1 0

lim lim . lim 1 . . d

n n

n n n n

k k

k k k k

w f f x f x x

n n n n n

→+∞ →+∞ = →+∞ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠ =

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠ =

∫

^.

La suite

( )

wn n_∈ ^* étant croissante, il vient : ₂ ¹

( )

1 0

. . d

n

k

k k

f x f x x

n n

ε ε

=

⎛ ⎞ ≤

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∫

^.

D’après ce qui précède, on a :

( )

_{2 2} ¹

( )

¹

( )

1 0 0

max , sin . . d 1 . d

N

k

k k k

n N N f x f x x x f x x

n n n

ε

ε ε ε ε

=

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≥ ⇒

∑

⎜⎝ ⎟⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ +

∫

= +⎜⎝

∫

⎟⎠

La différence v_n−u_n pouvant être rendue arbitrairement petite, on conclut :

lim _{n n} 0

n v u

→+∞ − =

Comme la suite

( )

un n_∈ ^* converge, le résultat précédent nous permet de conclure qu’il en va de même pour la suite

( )

vn n_∈ ^* et que ces deux suites ont même limite.

La suite

( )

vn n_∈ ^* converge vers la même limite que celle de la suite

( )

un n_∈ ^*.