Les suites – Corrigé
Exercice 1 :
1) a) Pour tout entier naturel 𝑛 non nul , 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 =
( )b) 𝑆 = (1 + 2 + ⋯ + 22 + 23 + 24 + ⋯ + 191 + 192) − (1 + 2 + ⋯ + 22) =
×−
×= 18 275 2) a) Si 𝑞 ≠ 1, pour tout entier naturel 𝑛 non nul, 1 + 𝑞 + 𝑞 + ⋯ + 𝑞 =
b) 𝑆 = 1 + (−2) + (−2) + (−2) + (−2) + ⋯ + (−2) =
( )( )
= = 683
Exercice 2 :
1) a) Augmenter de 2,5 % revient à multiplier par 1,025 donc 𝑢 = 1,025 × 𝑢 . On en déduit que la suite (𝑢 ) est géométrique de raison 1,025.
b) Pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 = 𝑢 × 𝑞 = 710 × 1,025 .
c) A l’aide de la calculatrice, on voit que 𝑢 ≈ 844 et 𝑢 ≈ 865 donc le chiffre d’affaires de la société A aura dépassé 850 k€ en 2008.
2) a) Il est clair que 𝑣 = 𝑣 − 15. On en déduit que la suite (𝑣 ) est arithmétique de raison -15.
b) Pour tout entier naturel , 𝑣 = 𝑣 + 𝑛𝑟 = 890 − 15𝑛.
c) 𝑣 < 800 ⇔ 890 − 15𝑛 < 800 ⇔ −15𝑛 < −90 ⇔ 𝑛 > 6 ⇔ 𝑛 ≥ 7
On en déduit que le chiffre d’affaires de la société B sera inférieur à 800 k€ en 2007.
3) A l’aide de la calculatrice, on voit que 𝑢 < 𝑣 et 𝑢 > 𝑣
On en déduit que le chiffre d’affaires de la société A sera supérieur à celui de la société B en 2006.
Exercice 3 :
1) a) 𝑢 = 0 − 3 × 0² + 2 × 0 + 5 = 5 ; 𝑢 = 1 − 3 × 1² + 2 × 1 + 5 = 5 ; 𝑢 = 2 − 3 × 2² + 2 × 2 + 5 = 5 ; 𝑢 = 3 − 3 × 3² + 2 × 3 + 5 = 11.
b) 𝑢 = 5 ⇔𝑢 − 5 = 0 ⇔ 𝑛 − 3𝑛² + 2𝑛 = 0 ⇔ 𝑛(𝑛 − 3𝑛 + 2) = 0 ⇔ 𝑛 = 0 ou 𝑛 − 3𝑛 + 2 = 0 Cette équation n’ a donc que 0, 1 et 2 comme solutions : Il n’existe pas d’entier 𝑛 ≥ 3 tel que 𝑢 = 5.
2) 𝑢 = 𝑣 ⇔𝑛 − 3𝑛² + 2𝑛 + 5 = 5(𝑛 − 𝑛 + 1)⇔ 𝑛 − 3𝑛² + 2𝑛 + 5 = 5𝑛 − 5𝑛 + 5
⇔𝑛 − 8𝑛² + 7𝑛 = 0 ⇔ 𝑛(𝑛 − 8𝑛 + 7) = 0 Les solutions sont donc 0, 1 et 7
Exercice 4 :
1) (𝑢 ) est une suite dont les premiers termes sont 𝑢 = 10, 𝑢 = 8,7 et 𝑢 = 7,4.
a) 8,7 − 10 = −1,3 et 7,4 − 8,7 = −1,3 : cette suite est arithmétique de raison −1,3.
b) 𝑢 = 𝑢 − 1,3 = 7,4 − 1,3 = 6,1
c) 𝑢 = 𝑢 + 15 × 𝑟 = 10 + 15 × (−1,3) = −9,5
d) Le premier terme négatif de cette suite est 𝑢 = −0,4.
2) (𝑣 ) est une suite arithmétique telle que : 𝑣 = 3 et 𝑣 = 30.
a) 𝑣 = 𝑣 + 9𝑟 = 3 + 9𝑟 donc 3 + 9𝑟 = 30 ⇔ 9𝑟 = 27 ⇔ 𝑟 = 3 : la raison de cette suite est 3.
b) 𝑣 = 𝑣 + 16𝑟 = 3 + 16 × 3 = 51
3) (𝑤 ) est une suite dont les premiers termes sont : 𝑤 = 100, 𝑤 = 80 et 𝑤 = 64.
a) = 0,8 et = 0,8 : cette suite est géométrique et sa raison est 0,8.
b) 𝑤 = 𝑤 × 0,8 = 64 × 0,8 = 51,2.
c) 𝑤 = 𝑤 × 𝑞 = 100 × 0,8 = 13,4 arrondi au dixième.
d) Le premier terme de cette suite inférieur à 10 est 𝑤 = 8,6 arrondi au dixième.
Exercice 5 :
Exercice 6 :
1. La conservation du volume total d’eau du circuit se traduit par l’égalité 𝑎 + 𝑏 = 2200.
2. A la fin du (𝑛 + 1)-ème jour de fonctionnement, le bassin A contient 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B + 90 % du volume d’eau présent dans le bassin A (car 10 % est transféré dans le bassin B), on en déduit que, pour tout entier naturel 𝑛,
𝑎 = 0,9 × 𝑎 + 0,15 × 𝑏 = 0,9 × 𝑎 + 0,15(2200 − 𝑎 ) = 0,9𝑎 − 0,15𝑎 + 330 = 0,75𝑎 + 330 On obtient bien le résultat demandé.
3.
[…]
Traitement
Tant que 𝑎 < 1100, faire :
Affecter à 𝑎 la valeur 𝟎, 𝟕𝟓 × 𝒂 + 𝟑𝟑𝟎 Affecter à 𝑛 la valeur 𝒏 + 𝟏
Fin Tant que Sortie Afficher 𝑛
4. (a) Pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 = 𝑎 − 1320 = 0,75𝑎 + 330 − 1320 = 0,75𝑎 − 990 Or 0,75 × 1320 = 990 donc 𝑢 = 0,75(𝑎 − 1320) = 0,75𝑢 = 𝑢 .
Ainsi, la suite (𝑢 ) est une suite géométrique de raison et de premier terme 𝑢 = 𝑎 − 1320 = −520.
(b) On en déduit que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ,
𝑢 = −520 × 3
Puis que , pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 4
𝑎 = 1320 + 𝑢 = 1320 − 520 × 3 4
5. Si, un jour donné, les deux bassins ont, au mètre cube près, le même volume d’eau, alors ils contiennent chacun 1100 𝑚 .
Le calcul des premiers termes de la suite (𝑎 ) donne 𝑎 = 800, 𝑎 = 930, 𝑎 = 1027,5 puis 𝑎 = 1100,625 A la fin du 3ème jour, la bassin A contient environ 1101 𝑚 (après arrondi au 𝑚 ) et le bassin B, 1099 𝑚 . Il reste à justifier que la suite (𝑎 ) est strictement croissante pour prouver qu’aucun terme ne pourra être égal à 1100 : en effet, on aura 𝑎 > 1100 pour tout 𝑛 ≥ 3.
𝑎 − 𝑎 = 1320 − 520 × 3
4 − 1320 + 520 × 3
4 = 520 × 3
4 1 −3
4 = 520 × 3 4 ×1
4> 0 … Conclusion : les deux bassins ne peuvent pas avoir le même volume d’eau au mètre cube près, un jour donné.
Exercice 7 :
1. 𝑢 = 𝑢 + 2 × 0 + 2 = 2 et 𝑢 = 𝑢 + 2 × 1 + 2 = 6.
2. (a) Au vu des données, il semble que la suite (𝑢 ) soit strictement croissante.
Démontrons-le : pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 − 𝑢 = 2𝑛 + 2 > 0, ce qui est immédiat ! (b) Dans le cadre de cette conjecture, 𝑢 = 𝑎 × 0 + 𝑏 × 0 + 𝑐 = 𝑐 or 𝑢 = 0, ainsi 𝑐 = 0.
On en déduit alors que, toujours dans le cadre de cette conjecture, 𝑢 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛.
On recherche ensuite les valeurs de 𝑎 et 𝑏 : 𝑢 = 𝑎 + 𝑏 or 𝑢 = 2 donc 𝑎 + 𝑏 = 2.
𝑢 = 4𝑎 + 2𝑏 or 𝑢 = 6 donc 4𝑎 + 2𝑏 = 6 ⇔ 2𝑎 + 𝑏 = 3 Il reste à résoudre le système : 𝑎 + 𝑏 = 2
2𝑎 + 𝑏 = 3 qui donne après résolution rapide 𝑎 = 1 𝑏 = 1 Il semblerait donc que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 = 𝑛 + 𝑛.
3. (a) Pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣 = 𝑢 − 𝑢 = 2𝑛 + 2.
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑣 = 2(𝑛 + 1) + 2 = (2𝑛 + 2) + 2 = 𝑣 + 2, la suite (𝑣 ) est donc une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 𝑣 = 𝑢 − 𝑢 = 2 ce qui pouvait se déduire directement de l’expression affine de 𝑣 .
(b) Première méthode : on calcule la somme : 𝑆 = 𝑣 = (𝑛 + 1) ×𝑣 + 𝑣
2 = (𝑛 + 1) ×2 + (2𝑛 + 2)
2 = (𝑛 + 1) ×2𝑛 + 4
2 = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) Grâce à la somme des termes d’une suite arithmétique…
Ou encore :
𝑆 = 𝑣 = 2 + (2 × 1 + 2) + (2 × 2 + 2) + (2 × 3 + 2) + ⋯ + (2 × 𝑛 + 2)
= 2 + ⋯ + 2+ 2(1 + 2 + ⋯ + 𝑛) = 2(𝑛 + 1) + 2 ×𝑛(𝑛 + 1)
2 = 2(𝑛 + 1) + 𝑛(𝑛 + 1) = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) (c) 𝑆 = 𝑣 + 𝑣 + ⋯ + 𝑣 + 𝑣 = 𝑢 − 𝑢 + 𝑢 − 𝑢 + ⋯ 𝑢 − 𝑢 + 𝑢 − 𝑢 = 𝑢 − 𝑢 après simplifications multiples.
On en déduit que 𝑢 = 𝑆 + 𝑢 puis que 𝑢 = 𝑆 + 𝑢 = 𝑛(𝑛 + 1) + 0 = 𝑛(𝑛 + 1) = 𝑛 + 𝑛 On retrouve bien le résultat de la conjecture de la question 2. (b).
Exercice 8 :
1. a. Pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 =1
5𝑢 + 3 × 0,5 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢 = 2 À l’aide de la calculatrice on a alors :
𝑛 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑢 2 3,4 2,18 1,19 0,61 0,31 0,16 0,08 0,04 0,02
1.b. D'après le tableau il semble que la suite (𝑢 ) soit décroissante à partir du rang 1.
2.a. Pour tout entier naturel n, 𝑣 = 𝑢 − 10 × 0,5 = 𝑢 + 3 × 0,5 − 10 × 0,5 =1
5𝑢 + 3 × 0,5 − 5 × 0,5 =1
5𝑢 − 2 × 0,5 =1
5(𝑢 − 10 × 0,5 ) =1 5𝑣 . Donc la suite (𝑣 )est géométrique de raison 1
5 et de premier terme 𝑣 = 𝑢 − 10 × 0,5 = 2 − 10 = −8.
2. b. On en déduit que 𝑣 = −8 × 1
5 Or 𝑢 = 𝑣 + 10 × 0,5 donc 𝑢 = −8 × 1
5 + 10 × 0,5 . 2. 𝑐. Comme − 1 <1
5< 1 et − 1 < 0,5 < 1 alors lim
→
1
5 = lim
→ 0,5 = 0 Donc par opération sur les limites lim
→ 𝑢 = 0.
3. (1) Tant que 𝑢 > 0,01.
(2) n prend la valeur n+1.
(3) 𝑢 prend la valeur − 8 × 1
5 + 10 × 0,5
On peut aussi utiliser la formule de récurrence en faisant attention à l’exposant de 0,5 (3) 𝑢 prend la valeur 1
5𝑢 + 3 × 0,5
