1. Vérifier que, pour tout entier naturel n , on a : 7

(1)

Travail maison 2 Spécialité MATHS

Congruences

1. Vérifier que, pour tout entier naturel n , on a : 7

³ⁿ

≡1 19

7

³

≡ 119 donc 7

³ⁿ

≡ 1 19 pour tout n ∈ ℕ.

7

^k

≡ 7

^k

19 Donc par application de la règle de multiplication des congruences : quels que soient les entiers naturels n et k , on a 7

^3nk

≡ 7

^k

19

Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de ₇

ⁿ

par 19 ? 7

⁰

≡ 1 19 ; 7

¹

≡ 7 19 ; 7

²

≡ 11 19 et 7

³

≡ 119

On peut « découper » ℕ en 3 parties disjointes réalisant une partition de ℕ.

n ≡ 03 donc n=3k et 7

ⁿ

=7

³



^k

donc 7

ⁿ

≡ 1 19 et le reste est 1.

n ≡ 1 3 donc n =3k1 et 7

ⁿ

= 7

³



^k

×7 donc 7

ⁿ

≡ 719 et le reste est 7.

n ≡ 23  donc n=3k2 et 7

ⁿ

=7

³



^k

×7

²

donc 7

ⁿ

≡ 1119 et le reste est 11.

2. Démontrer que, pour trois entiers naturels consécutifs a , b et c , l'entier ₇

^a

_7

^b

_7

^c

est un multiple de 19.

a , b et c étant consécutifs, l'un est congru à 0 modulo 3, l'autre à 1 modulo 3 et le dernier à 2 modulo 3 (on peut s'en convaincre ne réalisant la droite des réels et en y plaçant les entiers notamment les multiples de 3)

Ainsi 7

^a

7

^b

7

^c

≡ 1711 19  ⇔ 7

^a

7

^b

7

^c

≡ 19 19 ⇔ 7

^a

7

^b

7

^c

≡ 019 , ce qui prouve le

résultat.

(2)

1. Vérifier que, pour tout entier naturel n , on a : 7

Travail maison 2 Spécialité MATHS

Congruences

1. Vérifier que, pour tout entier naturel n , on a : 7

≡1 19

7

≡ 119 donc 7

≡ 1 19 pour tout n ∈ ℕ.

7

≡ 7

19 Donc par application de la règle de multiplication des congruences : quels que soient les entiers naturels n et k , on a 7

≡ 7

19

Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de 7

par 19 ? 7

≡ 1 19 ; 7

≡ 7 19 ; 7

≡ 11 19 et 7

≡ 119

On peut « découper » ℕ en 3 parties disjointes réalisant une partition de ℕ.

n ≡ 03 donc n=3k et 7

=7



donc 7

≡ 1 19 et le reste est 1.

n ≡ 1 3 donc n =3k1 et 7

= 7



×7 donc 7

≡ 719 et le reste est 7.

n ≡ 23  donc n=3k2 et 7

=7



×7

donc 7

≡ 1119 et le reste est 11.

2. Démontrer que, pour trois entiers naturels consécutifs a , b et c , l'entier 7

7

7

est un multiple de 19.

a , b et c étant consécutifs, l'un est congru à 0 modulo 3, l'autre à 1 modulo 3 et le dernier à 2 modulo 3 (on peut s'en convaincre ne réalisant la droite des réels et en y plaçant les entiers notamment les multiples de 3)

Ainsi 7

7

7

≡ 1711 19  ⇔ 7

7

7

≡ 19 19 ⇔ 7

7

7

≡ 019 , ce qui prouve le

résultat.

2009©My Maths Space

Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de ₇

2. Démontrer que, pour trois entiers naturels consécutifs a , b et c , l'entier ₇

_7

_7