Montrer que pour tout n entier naturel, 212

PanaMaths Août 2012

Montrer que pour tout n entier naturel, 3

+ 2

est divisible par 7.

Analyse

On mène, classiquement, un raisonnement par récurrence.

Résolution

On définit :

P

Pour n=0, on a : 3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺² =3^{2 0 1× +} +2^{0 2+} = +3¹ 2² = + =3 4 7 qui est bien divisible par 7.

La propriété

P

Hérédité

Soit n un entier naturel quelconque fixé.

On suppose

P

P

Soit donc l’entier 3^{2(n+ +1 1)} +2^{(n+ +1) 2}=3²ⁿ⁺³+2ⁿ⁺³. On a :

2 3 3 2 2 1 2

3 ⁿ⁺ +2ⁿ⁺ = ×3 3 ⁿ⁺ + ×2 2ⁿ⁺

D’après l’hypothèse de récurrence, 3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺² est un multiple de 7. Il existe donc un entier k tel que : 3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=7k, soit : 3²ⁿ⁺¹=7k−2ⁿ⁺².

Dans ces conditions, il vient :

( )

( )

( )

( )

2 3 3 2 2 1 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

3 2 3 3 2 2

3 7 2 2 2

3 7 3 2 2 2

3 7 2 2 3

3 7 2 7

7 3 2

n n n n

n n

n n

n

n n

k k k k

k

+ + + +

+ +

+ +

+ +

+

+ = × + ×

= × − + ×

= × − × + ×

= × + −

= × + × −

= × × −

Ainsi, l’entier 3²ⁿ⁺³+2ⁿ⁺³ est divisible par 7 . La propriété

P

PanaMaths Août 2012

Conclusion

On déduit de ce qui précède que la propriété

P

Résultat final

2 1 2

, 3ⁿ 2ⁿ

n ^{+ +}

∀ ∈` + est divisible par 7