définis, pour tout entier naturel n, par z

DEVOIR A LA MAISON N°17. TS2.

Pour le mercredi 4 mai 2016.

On considère les nombres complexes z

n

définis, pour tout entier naturel n, par z

0

1 et z

n 1

 

 

1 i 3

3

z

n

. On note A

n

le point d’affixe z

n

dans le repère orthonormé ( ^{O u v} ) ci-dessous.

L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points A

n

. 1.

a. Vérifier que 1 i 3 3

2 3 e

i 6

b. En déduire z

₁

et z

₂

sous forme exponentielle.

2.

a. Montrer que pour tout entier naturel n, z

n

 

 

2

3

n

e

in 6

.

b. Pour quelles valeurs de n, les points O, A

0

et A

n

sont-ils alignés ? 3. Pour tout entier naturel n, on pose d

n

| ^z

^{n 1}

^z

ⁿ

| ^.

a. Interpréter géométriquement d

n

. b. Calculer d

0

.

c. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, z

_{n 2}

z

_{n 1}

 

  1

^{i 3}

3

( ^z

n 1

z

_n

) . d. En déduire que la suite ( ) ^d

n n 0

est géométrique puis que pour tout entier naturel n, d

n

3 3

 

 

2

3

n

. 4.

a. Montrer que pour tout entier naturel n, | ^z

^{n 1}

|

²

| | ^z

^{n 2}

( ) ^d

^{n 2}

^.

b. En déduire que pour tout entier naturel n, le triangle OA

_n

A

_{n 1}

est rectangle en A

_n

. c. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point A

5

sur la figure.

d. Justifier cette construction.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°17. TS2

Dans tout l exercice, n est un entier naturel et a 1 i 3 3 1.

a. Soit un argument de a.

| | ^{a 1²} _ ^

³

_ ^

3

2

12

3

2 3 3

cos( ) 1

2 3 3

3 2 3

3

2 et sin( )

3 3 2 3

3

1

2 . Alors 

6 (2 ).

Ainsi la forme exponentielle de a est 2 3 e

i

6

: 1 i 3

3 2

3 e

i 6

. b. z

1

az

0

a 1 a donc la forme exponentielle de z

1

est 2

3 e

i 6

. z

₂

az

₁

2

3 e

i

6

2

3 e

i

6

4

3 e

i

6 6

4

3 e

i

3

. La forme exponentielle de z

₂

est 4 3 e

i 3

. 2.

a. Initialisation : pour n

0

0 : z

0

1 et

 

 

2

3

0

e

ⁱ

0

6

1e

⁰

1 1 1 donc z

0

 

 

2

3

0

e

ⁱ

0 6

. Hérédité : soit p un entier naturel tel que z

p

 

 

2

3

p

e

ip

6

. Montrons que z

p 1

 

 

2

3

p 1

e

i(p 1) 6

.

z

p 1

az

p

2 3 e

i 6   

 

 2

3 p e

ip 6  

 

2

3

p 1

e

ⁱ

(

^{6 p6}

) ₌

 

 

2

3

p 1

e

i(p 1) 6

.

Conclusion : pour tout entier naturel n, z

_n

 

 

2

3

n

e

in 6

. b. O ,A

₀

et A

_n

sont alignés ssi A

_n

est sur l axe des réels

ssi arg ( ) ^z

n

kπ avec k un entier ssi n

6 k avec k entier ssi n

6 est entier

ssi n est un multiple de 6.

O, A

0

et A

n

sont alignés ssi n est un multiple de 6.

3. Pour tout entier naturel n, on pose d

_n

| ^z

n 1

z

_n

| . a. d

n

A

n

A

n 1

b. d

0

 

  1

^{i 3}

3

1 3

3 .

c. z

n 2

z

n 1

az

n 1

az

n

a ( ^z

^{n 1}

^z

ⁿ

) _ ^{ 1}

ⁱ₃³

_ ^ ( ^z

^{n 1}

^z

ⁿ

)

d. Soit n un entier naturel.

d

n 1

| ^z

^{n 2}

^z

ⁿ

| | ^a ( ^z

^{n 1}

^z

ⁿ

) | ^{| | a z ( n 1) z}

ⁿ

^{2 3}

3 d

n

La suite ( ) ^d

n n 0

est géométrique de raison 2 3

3 et de premier terme d

0

3

3 . Alors, pour tout entier naturel n, d

_n

3

3  

 

2

3

n

. 4.

a. | | ^z

n 2

 

 

 

 

2

3

n

e

in 6

2

 

 

2

3

2n

. De même, | ^z

n 1

|

2

 

 

2

3

2n 2

 

 

2

3

2

 

 

2

3

2n

4

3  

 

2

3

2n

( ) ^d

^{n 2}

_ ^

₃³

_ ^

2

 

 

2

3

2n

1

3  

 

2

3

2n

. Alors | | ^z

^{n 2}

( ) ^d

^{n 2}

_ ^

²

_ ^

3

2n

1

3  

 

2

3

2n

 

 

2

3

2n

 

 

1

¹

3

4 3  

 

2

3

2n

| ^z

^{n 1}

|

²

^.

Pour tout entier naturel n, | ^z

^{n 1}

|

²

| | ^z

^{n 2}

( ) ^d

^{n 2}

^.

b. On a donc OA

n 1

2

( ^OA

n

)

2

( ^A

n

A

n 1

)

2

. D après la réciproque du th de Pythagore, le triangle OA

n

A

n 1

est rectangle en A

n

.

c.

d. OA

4

A

5

est rectangle en A

4

donc on trace (au compas) la perpendiculaire d à

( ^OA

4

) passant par A

₄

.

( ^OA

³

^OA

⁵

) ⁵

6 3

6 3 : on construit le triangle équilatéral direct OA

₃

B et A

₅

est sur la demi droite [OB

₃

) Remarque : OA

5

A

6

est rectangle en A

5

donc A

5

est sur le cercle C de diamètre

[ ^OA

6

] .