T S3 Correction Devoir libre no8 M.Imbert
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O; − → u ; − → v ).
Pour tout entier naturel n, on note A n le point d’affixe z n défini par :
z 0 = 1 et z n+1 = 3 4 +
√ 3 4 i
! z n .
On définit la suite (r n ) par r n = |z n | pour tout entier naturel n.
1. 3 4 +
√ 3 4 i =
√ 3 2
√ 3 2 + 1
2 i
!
=
√ 3 2
cos
π 6
+ i sin
π 6
=
√ 3 2 e i π 6
2. (a) Pour tout n entier naturel, z n+1 = 3
4 +
√ 3 4 i
!
z n donc |z n+1 | =
3 4 +
√ 3 4 i
! z n
= 3 4 +
√ 3 4 i
× |z n | ⇔ r n+1 =
√ 3 2 r n De plus r 0 = 1 donc (r n ) est une suite géométrique de raison
√ 3 2 . (b) Pour tout n entier naturel, r n = r 0
√ 3 2
! n
=
√ 3 2
! n
.
(c) z n est l’affixe du point A n donc |z n − z O | = OA n ⇔ OA n = r n .
√ 3
2 ∈ [0; 1[ donc r n −→
n→+∞ 0 3. On considère l’algorithme suivant :
Variables n entier naturel R réel
P réel strictement positif Entrée Demander la valeur de P Traitement R prend la valeur 1
n prend la valeur 0 Tant que R > P
n prend la valeur n + 1 R prend la valeur
√ 3 2 R Fin tant que
Sortie Afficher n
(a)
condition V V V V V F
n 0 1 2 3 4 5 5
R 1 ≈0.866 0.75 ≈0.65 0.5625 ≈0.487 ≈0.487
P 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
La valeur affichée par l’algorithme pour P = 0, 5 est donc 5.
(b) Pour P = 0, 01 on obtient n = 33. Comme (r n ) tend vers 0 et que la variable R de l’algorithme contient les termes de la suite, on obtient en sortie d’algorithme le rang du terme inférieur à une valeur positive fixée. Ou, dit en d’autres termes, le rang n tel que le le point A n soit dans le disque de centre O et de rayon P .
4. (a) Évaluons ( −−−−→
OA n+1 , −−−−−→
A n A n+1 ) en fonction des affixes z n et z n+1 : ( −−−−→
OA n+1 , −−−−−→
A n A n+1 ) = arg
z n+1 − z n z n+1
arg
z n+1 − z n
z n+1
=
a=
34+i
√ 3 4
