[ Algorithme et suite \

algorithmique

[ Algorithme et suite \

Énoncé

Un laboratoire étudie la propagation d’une maladie sur une population.

Pour tout entier natureln, on noteb_nla proportion d’individus maladesnjours après le début de l’expérience.

On admet que pour tout entier natureln,b_n=1 3

¡0,95ⁿ−0,8ⁿ¢

On admet que la proportion d’individus malades croît pendant plusieurs jours, puis dé- croit.

On souhaite déterminer le pic épidémique, c’est à dire le moment où la proportion d’in- dividus malades est à son maximum.

A cet effet, on utilise l’algorithme donné enannexe (à rendre avec la copie), dans lequel on compare les termes successifs de la suite (b_n).

Compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau fourni enannexe.

Conclure.

Algorithme et tableau à compléter Variables : b, b^′, x, ysont des réels

kest un entier naturel Initialisation : Affecter àbla valeur 0

Affecter àb^′la valeur 0,05 Affecter àkla valeur 0 Affecter àxla valeur 0,95 Affecter àyla valeur 0,8 Traitement : Tant queb<b^′faire :

Affecter àkla valeurk+1 Affecter àbla valeurb^′ Affecter àxla valeur 0,95x Affecter àyla valeur 0,80y Affecter àb^′la valeur· · · · Fin Tant que

Sortie : Afficher· · · ·

Suite numérique Page 1/3 Août 2014

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k b x y b^′ Test :b<b^′?

Après le 7^epassage dans la boucle Tant

que

7 0,162 8 0,663 4 0,167 8 0,165 2 VRAI

Après le 8^epassage éventuel dans la boucle Tant que Après le 9^epassage

éventuel dans la boucle Tant que

Liban Mai 2014

Suite numérique Page 2/3 Août 2014

algorithmique

Correction

Variables : b,b^′, x, ysont des réels kest un entier naturel Initialisation : Affecter àbla valeur 0

Affecter àb^′la valeur 0,05 Affecter àkla valeur 0 Affecter àxla valeur 0,95 Affecter àyla valeur 0,8 Traitement : Tant queb<b^′faire :

|Affecter àkla valeurk+1

|Affecter àbla valeurb^′

|Affecter àxla valeur 0,95x

|Affecter àyla valeur 0,80y

|Affecter àb^′la valeur 1 3(x−y) Fin Tant que

Sortie : Afficherk

k b x y b^′ Test :b<b^′?

Après le 7^epassage dans la boucle Tant que

7 0,162 8 0,663 4 0,167 8 0,165 2 VRAI

Après le 8^epassage éventuel dans la boucle

Tant que

8 0,165 2 0,630 2 0,134 2 0,165 3 VRAI

Après le 9^epassage éventuel dans la boucle

Tant que

9 0,165 3 0,598 7 0,107 3 0,163 7 FAUX

Pour chaque ligne du tableau,bdésigneb_ketb^′désigneb_k+1; on a donc :

k 7 8 9 10

b_k 0,162 8 0,165 2 0,165 3 0,163 7 Le rang du jour où le pic épidémique est atteint est donc le 9^ème.

Suite numérique Page 3/3 Août 2014