[ Algorithme et suite \

algorithmique

[ Algorithme et suite \

Énoncé

1. On considère l’algorithme suivant :

Saisir un réel strictement positif non nula Entrée Saisir un réel strictemenl positif non nulb(b>a)

Saisir un entier naturel non nulN Affecter àula valeura

Initialisation Affecter àvla valeurb Affecter ànla valeur 0 TANTQUEn<N

Affecter ànla valeurn+1 Affecter àula valeur a+b 2

Traitement Affecter àvla valeur

s a²+b²

2 Affecter àala valeuru Affecter àbla valeurv

Sortie Afficheru, afficherv

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour a=4, b=9 et N=2.

Les valeurs successives deuetvseront arrondies au millième.

n a b u v

0 4 9

1 2

Dans la suite,aetbsont deux réels tels que 0<a<b. On considère les suites (un) et (vn) définies par : u0=a,v0=bet, pour tout entier natureln:

un+1=un+vn

2 et vn+1= s

u²n+vn²

2

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :un>0 et vn>0.

b. Démontrer que, pour tout entier natureln:vn²+1−un²+1=

³un−vn

2

´² . En déduire que, pour tout entier natureln, on aun6vn.

3. a. Démontrer que la suite (un) est croissante.

b. Comparerv²n+1etv²n. En déduire le sens de variation de la suite (vn).

4. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes.

Asie juin 2012

Suites Page 1/2 Août 2012

algorithmique

Correction

1.

n u v a b

0 4 9 4 9

1 6,5 6,964 6,5 6,964

2 6,732 6,736 6,732 6,736

2. a. Initialisation

Pourn=0, on a bienu0>0 etv0>0. L’hypothèse de récurrence est vérifiée pourn=0.

Hérédité

Supposons que pourn∈N:un>0 etvn>0. Alors : un+vn>0⇒un+vn

2 >0⇒un+1>0 un²>0 etv²n>0⇒u²n+vn²>0⇒u²n+vn²

2 >0⇒ s

u²n+vn²

2 >0⇒vn+1>0 L’hypothèse de récurrence est donc vérifiée au rangn+1.

Ainsi, d’après le théorème de récurrence, on en déduit que : un>0 etvn>0 pour toutn∈N . b. On a :

vn²+1−u²n+1=un²+vn²

2 −

³un+vn

2

´²

=2un²+2vn²

4 −u²n+2unvn+vn²

4

=un²−2unvⁿ+v²n

4

=

³uⁿ−vⁿ 2

´²

D’où, pour toutn∈N: vn²+1−un²+1≥0

⇒ vn²+1≥u²n+1

⇒ vn+1≥un+1 carnnetvnsont positifs Conclusion : vn≥unpour toutn∈N.

3. a. un+1−un=un+vn

2 −un=vn−un

2 ≥0 d’après la question précédente. La suite (un) est donc croissante . b. 0<un≤vn⇒u²n≤v²n⇒u²n+vn² ≤vn²+vn²⇒ u²n+vn²

2 ≤v²n⇒ v²n+1≤v²n ⇒vn+1≤vn (car les éléments de la suitev_nsont positifs).

La suite (vn) est donc décroissante .

4. La suite (un) est croissante majorée parv0donc, d’après théorème, elle est convergente.

La suite (vn) est décroissante minorée paru0donc, d’après théorème, elle est convergente.

Il s’agit, vous l’aurez compris, de suites adjacentes .

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