Méthodes sur les limites de suites monotones - Toute suite croissante majorée est convergente vers un réel L . De plus , on a u

Méthodes sur les limites de suites monotones

- Toute suite croissante majorée est convergente vers un réel L . De plus , on a u_n≤≤≤≤ L pour tout entier naturel n .

- Toute suite croissante non majorée a pour limite +∞ .

Exemple 1 Soit un = 1 + 1

4 + 1

9 + ... + 1 n² . a. Montrer que pour tout entier k ≥ 2 ; 1

k² ≤ 1 k − 1 − 1

k

b. En déduire que la suite (un) est majorée , puis convergente Indications

-

pour la comparaison , écrire 1 k − 1 − 1

k sous forme d'une seule fraction

en variant k de 1 à n , en déduire n inégalités

-

ajouter ces n inégalités , pour en déduire une majoration de u

par une constante

-

montrer que u

est croissante

conclure

Théorème des suites adjacentes Si - (un) est une suite croissante - (vn) est une suite décroissante - lim

n → +∞vn − un = 0

alors les deux suites sont convergentes , de même limite L .

De plus , on a pour tout couple (p,q) d'entiers naturels , up ≤ L ≤ vq En particulier , pour tout entier n , un ≤ L ≤ vn

Exemple 2

Montrer que les suites (un) et (vn) avec un = 1

n + 1 + 1

n + 2 + …… + 1 2n et vn = 1

n + 1

n + 1 + ….. + 1 2n sont adjacentes

Indications

-

montrer que (u

) est croissante

montrer que (v

) est décroissante

montrer que lim (v

− u

) = 0

conclure

Exercice 1

On considère la suite numérique (un) définie sur ℕ par



u0 = 1 8 un+1 = f(un)

avec f(x) = x(2 − x) a. Calculer u₁,u₂

b. Montrer que pour tout x ∈ [0;1] , f(x) ∈ [0;1] .

c. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 0 ≤ un ≤ 1 . d. En déduire que la suite (u_n) est croissante .

e. Montrer que la suite (un) est convergente et calculer sa limite .

Exercice 2

Soit (Un) la suite définie par



U0 = − 2 U_n+1 = 1

4U_n + 3

1. a. Montrer par récurrence que la suite (Un) est majorée par 4 b. En déduire qu'elle est monotone , puis convergente . 2. Déterminer la limite de la suite (U_n) .

Exercice 3

(u_n) et (v_n) sont deux suites définies par



u0 = 1

v0 = 12 et pour tout naturel n ,



 

v_n+1 = un + 3vn

4 1) Démontrer que la suite (v_n− u_n) et géométrique et déterminer sa limite

2) Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes 3) Montrer que la suite (3un + 8vn) est constante 4) En déduire les limites de (u_n) et de (v_n)

Exercice 4

On considère deux suites réelles (u_n) et (v_n) vérifiant 0 < v₀ < u₀ .

∀ n ∈ ℕ , u_n+1 = un + vn

2 et v_n+1 = u_nv_n . Montrer qu’elles ont même limites .