Intégrales et encadrements
1 Soit n un entier naturel non nul. On pose Un =
⌡
⌠ 0
1 exp
– x2 n dx 1° Donner un encadrement de Un .
2° En déduire que la suite (Un ) est convergente et donner sa limite.
2 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] (avec a ≤ b) Démontrer que ⌡⌠
a
b f(x) dx ≤ ⌡⌠ a
b f(x) dx 3 Encadrement d’intégrales
Soit les fonctions f et h définies sur IR par : f(x) = ln (ex + 1) et h(x) = ln(1 + e–x).
On se propose de calculer ⌡⌠ 2
4 f(x)dx
1° a) montrer que pour tout x ∈ 0 on a : x – x2
2 ≤ ln (1 + x) iex. On pourra pour cela étudier deux fonctions g1 et g2 définies sur IR+ par : g1(x) = x – ln (1 + x) et g2(x) = ln (1 + x) – x + x2
2 b Utiliser la question précédente pour montrer que pour tout x : e–x – e–2x
2 ≤ h(x) ≤ e–x , puis que : x + e–2x – e–2x
2 ≤ f(x) ≤ x + e–x.
2° Utiliser les inégalités de 1°b) pour montrer que : 0 ≤ ⌡⌠ 2
4 (x+e–x)dx – ⌡⌠ 2
4 f(x)dx ≤ ⌡⌠ 2
4 e–2x 2 dx En déduire une valeur approchée par défaut de ⌡⌠
2
4 f(x)dx
4 Encadrement d’intégrales Soit les fonctions f(x) = x2 + 1 , g(x) = x, h(x) = x + 1 2. 1° Comparer f, g et h sur [ 1 ; +∞ [ 2° En déduire un encadrement de ⌡⌠
1
3 x2 + 1dx
5 Montrer que, pour tout réel de :
π
4 π
2 1 ≤ 1
sinx≤ 2. En déduire, π 4 ≤⌡⌠
π/4 π/2 dx
sinx≤π 2 4 6 Montrer que, pour tout réel x positif : x
1 + x ≤ ln(1 + x) ≤ x.
7 1° En appliquant l'inégalité de la moyenne, montrer que, pour tout réel x positif : – x ≤ sin x ≤ x.
2° En déduire, par intégrations successives que, pour tout réel x positif : – 0,5 x2 ≤ 1 – cos x ≤ 0,5 x2, puis que : x – x3
6 ≤ sin x ≤ x :
8 Montrer que, pour tout réel x positif : 1+x ≤ ex, puis que 1 + x + 1
2 x2 ≤ ex.
Valeur moyenne.
1 Déterminer la valeur moyenne de chacune des fonctions sur l'intervalle considéré.
f(x) = x2 sur [1 ; 2] : g(x) = ex sur [-1 ; 1] : h(x) = cos x sur
0 ; π
2 . Représenter graphiquement.
2 Déterminer la valeur moyenne de la fonction sinus sur une période (sur un intervalle de longueur 2 π 3 Déterminer la valeur moyenne de : a) f x → sin x sur l'intervalle [ 0 ; π] puis sur l'intervalle [0 ; 2 π ] ; b) f : x → cos2 x sur l’intervalle
0 π
2 , puis sur l’intervalle [0 ; π]
4 Soit l'arc C de parabole d'équation : y = – x2 + 2 x pour x ∈ [0;2] et A le point de coordonnées (2;0).
Déterminer la hauteur du rectangle de base [ OA ] ayant la même aire que le domaine D limité par la courbe C et l'axe des abscisses.
5 Soit i (t) = 5 sin
100π t+π
3 une intensité de courant variable en fonction du temps t
1°) Déterminer la période T de cette fonction. 2°) Calculer la valeur moyenne de i sur une période T 6 Suite à un début de maladie infectieuse dans une région, on a constaté que le nombre de personnes ayant contracté la maladie t jours après l'apparition des premiers cas est donné par : f(t) =45 t2 – t3 pour t ∈ [0 ; 25]
Calculer le nombre moyen de personnes malades durant les huit premiers jours.
7 1° Calculer la valeur moyenne m de la fonction f : x → x sur l'intervalle I = [ln 2 ; ln 3]. 2° Calculer la valeur moyenne de la fonction g : x → e–x sur l'intervalle I. 3° A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale ⌡⌠
ln2
ln3 xe–x dx. En déduire la valeur moyenne µ de la fonction h : x → x e–x sur l'intervalle I. 4° En utilisant les résultats des questions précédentes, justifier votre jugement sur l’énoncé : « Sur un intervalle, la valeur moyenne du produit de deux fonctions est égale au produit des valeurs moyennes de ces fonctions ».
8 La capacité pulmonaire, exprimée en litre, de l’être humain suivant son âge x , de 10 à 90 ans, a été modélisée par la fonction f telle que: f(x) = 110 (ln x – 2)
x .
1° Etudier les variations de la fonction f sur [10 ; 90 ] . (On montrera que f est décroissante : sur [e3 ; 90].
2° a) Tracer la courbe de la fonction f dans un repère orthogonal (O; →i , →j ) d'unités graphiques : 2 cm pour 10 ans et 3 cm pour 1 litre. b) Déterminer graphiquement l'intervalle de temps durant lequel la capacité pulmonaire reste supérieure ou égale à 5 litres. 3° a) Calculer la dérivée de g définie sur ]0 ; + ∞[ par : g(x) = (ln x)2. b) Déterminer la valeur moyenne de la capacité pulmonaire de 20 à 70 ans, à 0,l litre près par défaut.
