Intégrales et encadrements
1 Soit n un entier naturel non nul. On pose Un = ⌡⌠ 0
1 exp
– x2 n dx 1° Donner un encadrement de Un .
2° En déduire que la suite (Un ) est convergente et donner sa limite.
2 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] (avec a ≤ b) Démontrer que ⌡⌠
a
b f(x) dx ≤ ⌡⌠ a
b f(x) dx 3 Encadrement d’intégrales
Soit les fonctions f et h définies sur IR par : f(x) = ln (ex + 1) et h(x) = ln(1 + e–x).
On se propose de calculer ⌡⌠ 2
4 f(x)dx
1° a) montrer que pour tout x ∈ 0 on a : x – x2
2 ≤ ln (1 + x) iex. On pourra pour cela étudier deux fonctions g1 et g2 définies sur IR+ par : g1(x) = x – ln (1 + x) et g2(x) = ln (1 + x) – x + x2
2 b Utiliser la question précédente pour montrer que pour tout x : e–x – e–2x
2 ≤ h(x) ≤ e–x , puis que : x + e–2x – e–2x
2 ≤ f(x) ≤ x + e–x.
2° Utiliser les inégalités de 1°b) pour montrer que : 0 ≤ ⌡⌠ 2
4 (x+e–x)dx – ⌡⌠ 2
4 f(x)dx ≤ ⌡⌠ 2
4 e–2x 2 dx En déduire une valeur approchée par défaut de ⌡⌠
2
4 f(x)dx
4 Encadrement d’intégrales Soit les fonctions f(x) = x2 + 1 , g(x) = x, h(x) = x + 1 2. 1° Comparer f, g et h sur [ 1 ; +∞ [ 2° En déduire un encadrement de ⌡⌠
1
3 x2 + 1dx 5 Montrer que, pour tout réel de :
π 4 π
2 1 ≤ 1
sinx ≤ 2. En déduire, π 4 ≤ ⌡⌠
π/4 π/2 dx
sinx ≤ π 2 4 6 Montrer que, pour tout réel x positif : x
1 + x ≤ ln(1 + x) ≤ x.
7 1° En appliquant l'inégalité de la moyenne, montrer que, pour tout réel x positif : – x ≤ sin x ≤ x.
2° En déduire, par intégrations successives que, pour tout réel x positif : – 0,5 x2 ≤ 1 – cos x ≤ 0,5 x2, puis que : x – x3
6 ≤ sin x ≤ x :
8 Montrer que, pour tout réel x positif : 1+x ≤ ex, puis que 1 + x + 1
2 x2 ≤ ex.
Intégration par partie
9 En effectuant une intégration par parties, calculer : ⌡⌠ 0
p x sin x dx : ⌡⌠ 1
2 x ln x dx : ⌡⌠ 0
1 (2 x + 1) ex dx 10 Calculer : ⌡⌠
1 eln x
x2 dx : ⌡⌠ 1
x ln t dt : ⌡⌠ 2
1/2 (x3 + 1) dx
11 En effectuant deux intégrations par parties successives, calculer :⌡⌠ –1
1 (x + 1)2 e–x dx : ⌡⌠ –p
0 x2 sin 2 x dx 12 En effectuant deux intégrations par parties successives, calculer ⌡⌠
0
π e2x sin x dx
13 On pose I = ⌡⌠ 0
π/4 (2 x + 1) cos2 x dx et J = ⌠⌡0 π 4 ⌡⌠
0
π/4 (2 x + 1) sin2 x dx 1° Calculer I + J.
2° Calculer I – J à l'aide d'une intégration par parties.
3° En déduire les valeurs de I et de J.
14 Intégration par partie
On cherche à calculer les intégrales suivantes : I =
⌡
⌠ 0
1 dx
x2 + 2 : J =
⌡
⌠ 0
1 x2 x2 + 2
dx : K = ⌡⌠ 0
1 x2 + 2 dx.
1° Calcul de I. Soit f la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par : f(x) = ln (x + x2 + 2).
a) Calculer la dérivée de la fonction x → x2 + 2. b) En déduire la dérivée f ' de f c) Calculer la valeur de I.
2° Calcul de J et de K a) Sans calculer explicitement J et K, vérifier que J + 2 I = K.
b) A l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale K , montrer que K = 3 – J.
c) En déduire les valeurs de J et de K.
15 Intégration par partie
On se propose de calculer l'intégrale J =
⌡
⌠ 0
1 x ex
(1 + ex)3 dx1° Calculer les deux intégrales : A =
⌡
⌠ 0
1 ex 1 + ex dx 2° Déterminer trois nombres a , b et c tels que, pour tout nombre réel t positif ou nul, on ait :
1
(1 + t)2 = a + b t
1 + t + c t (1 + t)2
3° En posant t = ex dans l'égalité (1) , calculer l'intégrale I = ⌡⌠ 0
1 1
(1 + ex)2 dx
4° a) A l'aide d'une intégration par parties exprimer J en fonction de I. b) En déduire la valeur de J. A l'aide de la calculatrice donner une valeur approchée de J à 10–2 près
16 Intégration par partie : ⌡⌠
– π
0 x cos x dx ; ⌡⌠
0
π x2 cos x dx ; ⌡⌠
0
1 x2 ex dx ; ⌡⌠
–1
-2
x ex2 dx ;
Un peu de tout
17 Fonctions rationnelles : 3 x + 1 x2 – 1 = 1
x + 1 + 2
x – 1 . En déduire : ⌡⌠
2
3 3 x + 1 x2 – 1 dx x3 + 3 x2 + 2 x – 3
x + 1 = x2 + 2 x – 3 + 2
x + 1. En déduire : ⌡⌠
–3
–2 x3 + 3 x2 + 2 x – 3
x + 1 dx
18 Fonctions trigonométriques :
⌡
⌠
–π 2 π
2 sin2 x cos x dx ;
⌡
⌠
π 3
2π
3 sin4 x dx
19 Linéariser sin3 x. En déduire :
⌡
⌠
–π 2 π
2 sin x (1 + sin x)2 dx
Linéariser cos2 x sin2 x. En déduire
⌡
⌠
–π 2 π
2 cos2 x sin2 x dx 20 I = ⌡⌠
0
x:et cos2 t dt et J = ⌡⌠
0
x:et sin2 t dt 1° Calculer I + J, puis I – J
2° En déduire une primitive de f : x → ex cos2 x et une primitive sur r et une primitive sur IR de g : x → ex sin2 x
21 On considère les intégrales : I =
⌡
⌠
0 π
4 dx
cos2 x et J =
⌡
⌠
0 π
4 dx
cos4 x 1° a) Quelle est la dérivée de la fonction tangente ?
b) Calculer I
2° a) Soit la fonction f définie sur [ 0 ; π
4 ] par : f (x) = sin x
cos3 x. Démontrer que f est dérivable sur [ 0 ; π
4 ] et que pour tout x de s [ 0 ; π
4 ] f ' (x) = 3
cos4 x – 2 cos x
b) Déduire du calcul précédent une relation entre I et J, puis calculer J.
22 Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) = e–x ln(1 + ex). Pour tout réel strictement positif α , on pose : I(α) = ⌡⌠
0
α f(x) dx.
1° Déterminer des nombres réels a et b tels que , pour tout réel x , ex
1 + ex = a + b 1 + ex . En déduire le calcul de l’intégrale ⌡⌠
0 α 1
1 + ex.
2° Calculer f + f ' , En déduire I(α) en fonction de α.
