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Academic year: 2022

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(1)

TS SUITES feuille 4

Exercice 4 (6 points) Commun à tous les candidats

1. On considère la fonction f 1 définie sur [0 ;∞[ par f1x=2x –2lnx21.

a) Déterminer la limite de f1 en + ∞.

b) Déterminer la dérivée de f1.

c) Dresser le tableau de variations de f1.

2. Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn, définie sur [0 ;∞[ par fnx=2x –2lnx21

n .

a) Déterminer la limite de fn en + ∞.

b) Démontrer que la fonction fn est strictement croissante sur [0 ;∞[.

c) Démontrer que l'équation fnx=0 admet une solution unique n sur [0 ;∞[.

d) Justifier que, pour tout entier naturel n, 0n1.

3. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, fnn0 .

4. Étude de la suite n.

a) Montrer que la suite n est croissante.

b) En déduire qu'elle est convergente.

c) Utilise l'expression n=1–lnn21

2n pour déterminer la limite de cette suite.

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