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x + 4 On définit pour tout entier naturel n, la suite (Un) par U0 = 0 U&#34

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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CONTROLE DE MATHEMATIQUES N°1 : TS LE 15/10/19 DUREE 2H Exercice 1 ( 5 points)

Partie A

Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 1°) x2 + 2x - 3 = 0 2°) - 2x2 + 3x – 1 ≥ 0 Partie B

Résoudre dans R : -5x2 + 6x + 8

¾¾¾¾¾¾ > 0 x2 + 2x - 3

Exercice 2 ( 6 points)

7x + 10 Soit f la fonction définie sur l’intervalle I = [0 ; 5] par f( x ) = ———— .

x + 4

On définit pour tout entier naturel n, la suite (Un) par U0 = 0 U"#$= f (U") 1°) La courbe de f est représentée sur la feuille donnée en annexe.

A l’aide de la courbe placer graphiquement les 4 premiers termes de (Un) (sans en calculer la valeur).

Que suggère le graphique sur la convergence et le comportement de la suite (U") ? 2°) a) Donner le tableau de variations de f( x ) sur I .

On admet que pour tout entier naturel n , 𝟎 ≤ 𝑼𝒏 < 5 .

b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, U" ≤ U"#$ . c) Que peut-on en déduire quant au comportement de la suite ?

Démontrer alors que la suite (U") est convergente.( On ne demande pas de calculer sa limite ici) U" + 2

3°) On considère la suite (V") définie sur N par V" = ———

U" – 5

a) Montrer que la suite ( V") est géométrique. En déduire l’expression de V" en fonction de n.

b) Exprimer alors U" en fonction de V" puis de n.

c) En déduire la convergence de la suite ( U" ) et sa limite l .

Exercice 3( 5 points)

Déterminer dans chaque cas la limite de la suite ( U n ) :

1- Un = n3 – 3n2 + 2 5n+2 - 4n-1

2- Un = ───────

2n + 3x5n 3 - Un = ,-# .,/01(,)45

4- Un= 1 + $. + ,#6 6.$ + …+ ( $

. )n 5- Soit Un = 74 √,5,#.

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Exercice 4( 4 points) 1°)

La fonction f est-elle continue sur R ?

2°) Dire ,sans justifier, dans chaque cas, si la fonction est continue ou non sur ]-1 ; 1[ et sur [ 0 ; 2 ] .

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ANNEXE

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