2 et, pour tout entier naturel n, u

DEVOIR A LA MAISON N°12. TS1.

Pour le jeudi 23 mars 2017 SUJET 1 Pour préparer le bac.

I. Soit u la suite définie par u

0

2 et, pour tout entier naturel n, u

n 1

2 u

n

2 n² n . On considère également la suite v définie pour tout n de par v

n

u

n

2n ² 3n 5.

1. Voici ci-contre une feuille de tableur.

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et v ?

2. Déterminer, en justifiant, une expression de v

n

et de u

n

en fonction de n uniquement.

II.

A. Soit f la fonction définie sur par f( x) x ln( x² 1). On admet que lim

x

f (x ) . 1. Déterminer la limite de f en .

2. Construire le tableau de variation de f.

3. Montrer que pour tout x de [0 1], f (x ) est compris entre 0 et 1.

4. On considère l algorithme ci-contre : a. Que fait cet algorithme ?

b. Cet algorithme s arrête-t-il quelle que soit la valeur de A ? Justifier.

c. Quelle valeur de N obtient-on lorsqu on saisit A 100 ?

B. Soit ( ) ^u

n

la suite définie par u

₀

1 et, pour tout n de , u

_{n 1}

u

_n

ln ( ^u

ⁿ²

^{1 .} )

1. Montrer que pour tout n de , 0 u

n 1

u

n

1.

2. En déduire que la suite ( ) ^u

ⁿ

converge.

3. On note L la limite de la suite et on admet que L vérifie l égalité f (L ) L. Déterminer L.

SUJET 2 Pour aller vers le supérieur.

I. Soit k un réel strictement positif. Pour quelles valeurs de k la courbe de la fonction exponentielle est- elle toujours au-dessus de la droite d équation y kx ?

II. Montrer que la courbe représentative de la fonction ln est située en dessous de toutes ses tangentes.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°12. TS1

SUJET 1 Pour préparer le bac.

I.

1. En B3, on a écrit : 2 B2 2 A2

²

A2 En C2, on a écrit : B2 2 A2

²

3A2 5

2. La suite ( ) ^v

ⁿ

semble géométrique de raison 2. Prouvons-le.

Soit n un entier naturel.

v

n 1

u

n 1

2(n 1)² 3(n 1) 5 2 u

n

2n ² n 2( n² 2 n 1) 3 n 3 5

2u

n

4 n² 6n 10 2 ( ^u

ⁿ

^{2 n² 3n 5} ) ^{2 v}

ⁿ

. La suite ( ) ^v

ⁿ

est donc géométrique de raison 2 et de 1er terme v

0

u

0

2 0² 3 0 5 7.

Alors, pour tout n de , v

n

7 2

ⁿ

. Soit n un entier naturel.

On a v

n

u

n

2n ² 3n 5 et donc u

n

v

n

2 n² 3 n 5, c'est-à-dire u

n

7 2

ⁿ

2 n² 3 n 5.

Déterminer, en justifiant, une expression de v

n

et de u

n

en fonction de n uniquement.

II.

A. Soit f la fonction définie sur par f (x) x ln( x² 1). On admet que lim

x

f (x ) . 1. lim

x

x ² 1 et lim

X

ln(X ) donc lim

x

ln(x² 1) et lim

x

x

2. f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) 1 2x x² 1

x² 2x 1 x ² 1

(x 1)²

x² 1 . On a donc le tableau de signes et variations :

3. Soit x un réel tel que 0 x 1

alors f (0) f (x ) f (1) car f est croissante sur et donc sur [0 1].

alors 0 f( x) 1 ln(2) 1

Ainsi, pour tout x de [0 1], f(x ) est compris entre 0 et 1.

4. On considère l algorithme ci-contre :

a. L algorithme détermine le plus petit entier naturel n tel que f (n ) A où A est un entier naturel entré par l utilisateur.

b. lim

x

f( x) donc, quel que soit l entier A, il existe un entier n tel que f (n ) A.

L algorithme s arrête donc.

c. Lorsqu on saisit A 100, on obtient n 110.

B. Soit ( ) ^u

ⁿ

la suite définie par u

0

1 et, pour tout n de , u

n 1

u

n

ln ( ^u

ⁿ²

^{1 .} )

1. Initialisation : pour n

0

0 : u

0

1 et u

1

1 ln(2) donc 0 u

1

u

0

1. La propriété est vraie pour n

0

0.

Hérédité : soit p un entier naturel supérieur ou égal à 0 tel que 0 u

p 1

u

p

1. Montrons que 0 u

p 2

u

p 1

1.

0 u

p 1

u

p

1 donc f (0) f ( ^u

^{p 1}

) ^f ( ) ^u

^p

^f (1) car f est croissante sur [0 1].

c'est-à-dire 0 u

p 2

u

p 1

1 ln(2). Or 1 ln(2) 1 donc 0 u

p 2

u

p 1

1

Conclusion : pour tout n de , 0 u

n 1

u

n

1.

2. La suite ( ) ^u

n

est décroissante et minorée par 0 donc elle converge vers un réel L.

3. f( L) L  L ln( L² 1) L  ln(L² 1) 0  L² 1 1  L ² 0  L 0.

La sui te ( ) ^u

ⁿ

converge vers L 0.

donc lim

x

f( x)

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°12. TS1

SUJET 2 Pour aller vers le supérieur.

I. Soit k un réel strictement positif et soit f la fonction définie sur par f( x) e

^x

. On cherche les valeurs de k pour lesquelles e

^x

kx pour tout réel x.

Soit g la fonction définie sur par g( x) e

^x

kx.

On cherche les valeurs de k pour lesquelles g est strictement positive sur . g est dérivable sur et, pour tout réel x, g (x ) e

^x

k .

Si k 0 : g ( x) 0 pour tout réel x et on a le tableau de variation suivant : x + lim

x

e

^x

et lim

x

kx donc lim

x

g( x) lim

x

e

^x

0 et lim

x

kx donc lim

x

g (x)

g( x) +

La fonction g a pour limite en donc elle n est pas strictement positive sur . Si k 0 : g( x) e

^x

0 sur .

Si k 0 : g (x ) 0  e

^x

k  x ln(k ). On a donc le tableau de variation suivant : x ln(k) + g( x) e

^x

 

  1

^kx

e^x

lim

x

e

^x

et lim

x

x

e

^x

0 donc lim

x

g( x) lim

x

e

^x

0 et lim

x

kx donc lim

x

g( x)

g( x) +

k kl n( k)°

Le minimum de g sur est k k ln(k ) donc g est strictement positive sur ssi k kln( k) 0 k kln( k ) 0  k (1 ln(k )) 0  1 ln(k ) 0 car k 0

 ln(k) 1

 k e

¹

La courbe de la fonction exponentielle est toujours au-dessus de la droite d équation y kx ssi 0 k e.

II. La fonction ln est définie sur ]0 [.Soit a un réel strictement positif.

La tangente T

_a

à la courbe de la fonction ln au point d abscisse a a pour équation y 1

a ( x a ) ln(a ), c est- à-dire y x

a ln(a ) 1.

Etudions la position relative de la courbe de la fonction ln et de T

a

. Soit g la fonction définie sur ]0 [ par g( x) ln( x ) x

a ln( a) 1 . lim

x 0

ln(x) et lim

x 0

x

a

ln(a ) 1 1 ln(a ) donc lim

x 0

g( x) . Pour tout x 0, g( x) x

 

 

ln(x)

x 1

a

ln(a ) 1.

lim

x

ln(x)

x

0 donc lim

x

 

 

ln(x)

x 1 a

1

a 0 et lim

x

x donc lim

x

x  

 

ln(x)

x 1

a

et

lim

x

g( x) .

g est dérivable sur ]0 [. Pour tout x 0, g ( x) 1 x

1 a

a x ax . a 0 et x 0 donc on a le tableau de variation :

x 0 a +

g( x) 0

Le maximum de g sur ]0 [ est 0, donc g (x ) 0 sur ]0 [. La courbe de la fonction ln est donc en

dessous de T

a

sur ]0 [ : la courbe représentative de la fonction ln est située en dessous de toutes ses

tangentes.