Vérifier que, pour tout entier naturel n2 et tous les réels u et v, on a : un– vn=u – vun –1un –2vuvn –2vn –1 b

Travail Maison 5 TS spé

équation Diophantienne, divisibilité

1) Appliquer l'algorithme d'Euclide,à 143 et 100.

En déduire une solution dans ℤ² de l'équation : 143x –100y=1 . 2) a. Vérifier que, pour tout entier naturel n2 et tous les réels u et v,

on a :

uⁿ– vⁿ=u – vu^{n –1}u^{n –2}vuv^{n –2}v^{n –1}

b. a et b étant deux entiers relatifs non nuls, déduire de l'égalité précédente que :

tout diviseur d de a divise abⁿ– bⁿ. 3) D'après le 1°, 1000=143×7–1 .

a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n : 10³ⁿ––1ⁿ est divisible par 7, 11 et 13.

b. En déduire que 1 000 000 001 et 999 999 999 999 sont divisibles par 1001.

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Correction:

1. 143=1×10043 ; 100=2×4314 ; 43=3×141 .... PGCD143 ;100=1. En remontant l'algorithme d'Euclide, on trouve comme solution particulière de l'équation 143x –100y=1 le couple x₀;y₀ = 7;10.

( L'existence d'une solution est assurée par le théorème de Bézout ) 2.a. L'égalité peut se démontrer par récurrence en posant par exemple :

u^n1– v^n1=uⁿu – vvuⁿ– vⁿ et en remplaçant uⁿ– vⁿ par

uⁿ– vⁿ=u – vu^{n –1}u^{n –2}vuv^{n –2}v^{n –1} ( hypothèse de récurrence ) 2.b. En appliquant la relation précédente à u=ab et v=b, on obtient :

abⁿ– bⁿ=ab – b×entier (inutile de détailler la valeur de l'entier ) ce qui donne : abⁿ– bⁿ=a×entier ⇔ abⁿ– bⁿ multiple de a. Ainsi tout diviseur de a , divise ses multiples en particulier abⁿ– bⁿ. 3.a. 1000=143×7–1 ⇔ 1001=7×143 ⇔ 1001=7×11×13 ⇔ 10³1=7×11×13 En termes de congruence, cela signifie que 10³1≡0k où k=7,11 ou 13. Ou encore 10³≡ –1k avec k=7,11 ou 13.

En utilisant le propriétés sur les congruences, cela donne 10³ⁿ≡–1ⁿk avec k=7,11 ou 13 ⇔ 10³ⁿ––1ⁿ≡0k avec k=7,11 ou 13.

3.b. 1000 000001=10^3×31=10^3×3––1³, d'après ce qui précède ce nombre est divisible par 7, 11 et 13 donc par 7×11×13=1001.

De même 999 999 999 999 = 10¹²–1 = 10^3×4––1⁴ et ...

Attention danger : la dernière implication n'est pas anodine. En effet, si n est un entier, dire que 7 divise n , 11 divise n et 13 divise n implique que 7×11×13 divise n provient du fait que : 7, 11 et 13 sont premiers entre eux deux à deux.

Voir cours pour la démonstration de ce résultat qui repose sur le théorème de Gauss.