1. ( ) u n définie par u n 4n 5 2 n 4 8 n 3 2 pour tout n de . 2. ( ) v n définie par v n

CONTROLE N°1 TS2.

Mercredi 23 septembre 2014.

2 heures I. A l aide des méthodes vues en classe, déterminer la limite de chacune des suites définies ci-dessous :

1. ( ) ^{u n} définie par u n 4n ⁵ 2 n ⁴ 8 n ³ 2 pour tout n de . 2. ( ) ^v n définie par v n

3 n ³ n ² n

5n ³ n pour tout n de *.

3. ( ) ^t n définie par t n = sin(3 n 2)

2n 4 pour tout n de .

4. ( ) ^w n définie par w n 2 n 3 2 n 5 pour tout entier n supérieur ou égal à 3.

5. ( ) ^{z n} définie par z n

 

  2 n² 3 n

n 2

5

pour tout n de .

II. Dans une cantine, 1200 enfants sont inscrits chaque jour. Ils ont le choix entre deux chaînes : A et B.

Chaque jour, les deux tiers des enfants ayant choisi la chaîne A la veille restent sur cette chaîne, les autres passant sur la B. De même, les deux tiers des enfants ayant choisi la chaîne B la veille restent sur cette chaîne, les autres passant sur la A. Le jour de la rentrée (jour 0), 300 enfants ont choisi la chaîne A.

On note u n le nombre (en centaines de personnes) d enfants passés à la chaîne A le jour n. On a donc u 0 3.

1. Calculer u 1 .

2. Monter que, pour tout n de , u n 1

1 3 u n 4.

3. Pour tout n de , on pose v n u n 6.

a. Montrer que la suite ( ) ^v n est géométrique.

b. Exprimer ( ) ^v n puis ( ) ^u n en fonction de n.

c. Déterminer lim

n

u n et interpréter.

4. Chaque repas à la chaîne A coûte 5€. Exprimer en fonction de n la recette de la chaîne A de la rentrée jusqu au soir du jour n.

5. Ecrire un algorithme permettant de déterminer et d afficher le plus petit entier N tel que u N 5,9999. Pourquoi est-on sûr que cet algorithme va s arrêter ?

III. D après bac. On considère la suite ( ) ^v n définie pour tout entier naturel n par



  v ₀ 1 v n 1

9 6 v n

. Partie A. Conjectures.

1. Calculer v 1 et v 2 .

2. A l aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite ( ) ^v n . Partie B. Etude des variations.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 v n 3 (Détailler les calculs).

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, v n 1 v n

( ^{3 v} n )

2

6 v n

. 3. La suite ( ) ^v n est-elle monotone ?

Partie C. Recherche de la limite.

On considère la suite ( ) ^w n définie pour tout n entier naturel par w n

1 v n 3 1. Démontrer que ( ) ^w n est une suite arithmétique de raison 1

3 . 2. En déduire l’expression de ( ) ^{w n} , puis celle de ( ) ^{v n} en fonction de n.

3. Déterminer la limite de la suite ( ) ^{v n .}

CORRECTION DU CONTROLE N°1 TS2.

I. Dans chaque cas, on a une forme indéterminée.

1. lim

n

u n lim

n

4n ⁵ .

2. lim

n

v n lim

n

3 n ³

5 n ³ lim

n

3 5

3 5

3. Pour tout n de , 1 sin(3 n 2) 1 et 2 n 4 0 donc 1

2n 4 t n

1 2 n 4 D autre part, lim

n

¹

2n 4 lim

n

1

2 n 4 0 donc, d après le th des gendarmes, lim

n

t _n 0.

4. On multiplie et on divise par la quantité conjuguée : pour tout entier n supérieur ou égal à 3, w n

lim

n

2 n 3 2 n 5 donc lim

n

w n 0.

5. On pose N

 

 

−2n ²−3n

n −2 ; on a alors z _n N ⁵ . lim

n

N lim

n

 

 

−2n ²−3 n

n −2 = lim

n

2n ²

n lim

n

2 n et lim

N

N ⁵ donc lim

n

z n . II.

1. u 1

2

3 3 1

3 (12 3) 5.

2. Pour tout n de , u n 1)

2 3 u n

1

3 ( ^{12 u n} ) ¹

3 u n 4.

3. Pour tout n de , on pose v _n u _n 6.

a. Soit n un entier naturel.

v n 1

v n

u n 1 6 u n 6

1

3 u n 4 6 u n 6

1

3 ( ^{u n −6} )

u n −6 1

3 . La suite ( ) ^{v n} est donc géométrique de raison 1 3 et de premier terme v 0 u 0 6 3.

b. Pour tout n de , v n 3

 

  1 3

n

et u n v n 6 3

 

  1 3

n

6 c. 0 1

3 1 donc lim

n  

  1 3

n

0 donc lim

n

u n 6. A long terme, environ 600 enfants choisiront la chaîne A chaque jour.

4. La recette est R ( ^{u 0 u 1 u 2 … u n} ) ^{) 5.}

R 5

 

 

 

  3  

  1 3

0

6  

  3  

  1 3

1

6  

  3  

  1 3

2

6 …

 

  3  

  1 3

n

6

R=5  

  3  

 

1 ¹

3  

  1 3

2 …  

  1 3

n

6( n 1) 5

 



 

3 

1  

 

1 3

n 1

1 ¹ 3

6( n 1)

R 30(n 1) 45 2  

 

1 ¹

3 ^{n 1}

5. On peut écrire l algorithme suivant : n prend la valeur 0

u prend la valeur 3 Tant que u 5,9999

n prend la valeur n 1 u prend la valeur 1

3 u 4 (ou u prend la valeur 3

 

  1 3

n

6) Fin tant que

Afficher n

L algorithme va s arrêter car lim

n

u n 6 donc les termes de la suite sont supérieurs à 5,9999 à partir d un certain rang.

III. D après bac.

On considère la suite ( ) ^v n définie pour tout entier naturel n par

 

 v 0 1 v n 1

9 6 v n

. Partie A. Conjectures.

1. v 1

9 5 et v 2

15 7 .

2. La suite ( ) ^v n semble croissante et avoir pour limite L 3.

Partie B. Etude des variations.

1. Initialisation : pour n 0 0 : v 0 1 et 0 1 3 donc la propriété est vraie pour n 0 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que 0 v p 3. Montrons que 0 v p 1 3.

0 v p 3 donc 0 v p 3 donc 6 6 v p 3, donc 9

6 9 6 u p

9

3 c'est-à-dire 3

2 v p 1 3. Ainsi, 0 v p 1 3.

Conclusion : pour tout n de , 0 v n 3.

2. v n 1 v n

9 6 v n

v n

9 6 v _n v _n ² 6 v n

( ^{3 v n} ) ²

6 v n

.

3. Pour tout n de , 0 v n 3 donc 6 v n 0 et ( ^{3 v n} ) ^{2 0. Ainsi v n 1 v n} 0. La suite ( ) ^{v n est}

donc croissante.

Partie C. Recherche de la limite.

On considère la suite ( ) ^w n définie pour tout n entier naturel par w n

1 v n 3 Soit n un entier naturel. w n 1

1 v n 1 3

1 9 6 v n

3

1 9 18 3v n

6 v n

6 v _n 3 v n 9

6− v _n 3 ( ^v n −3 )

1.

Alors w n 1 w n

6− v n

3 ( ^v n −3 ) 1 v n 3

6 v n 3 3 ( ^{v n 3} )

3 v n

3 ( ^{v n 3} )

1 3 .

( ) ^{w n} est donc une suite arithmétique de raison 1

3 et de premier terme w 0

1 1 3

1 2 . 2. Pour tout n de , w n

1 2

1 3 n et v n

1

w _n 3 1 1 2

1 3 n

3 3 6

2 n 3 3. lim

n

2 n 3 donc lim

n

6

2n 3 ⁾ 0 donc lim

n

v n 3.