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Texte intégral

(1)

Travail Maison 5 TS spé

équation Diophantienne, divisibilité

1) Appliquer l'algorithme d'Euclide,à 143 et 100.

En déduire une solution dans

ℤ2

de l'équation : 143 x – 100 y=1 . 2) a. Vérifier que, pour tout entier naturel n2 et tous les réels u et v ,

on a :

u

n

– v

n

=u – v  u

n –1

u

n –2

v uv

n –2

v

n –1

b. a et b étant deux entiers relatifs non nuls, déduire de l'égalité précédente que :

tout diviseur d de a divise ab

n

– b

n

. 3) D'après le 1°, 1000=143×7 – 1 .

a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n : 10

3n

–– 1

n

est divisible par 7, 11 et 13.

b. En déduire que 1 000 000 001 et 999 999 999 999 sont divisibles par 1001.

2009©My Maths Space

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