• Aucun résultat trouvé

On considère les suites ( ) et ( ) définies par = 2 et = 10 et, pour tout entier naturel :

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "On considère les suites ( ) et ( ) définies par = 2 et = 10 et, pour tout entier naturel : "

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°10. TS2.

Pour le mercredi 6 janvier 2015.

On considère les suites ( ) et ( ) définies par = 2 et = 10 et, pour tout entier naturel :

= 2 +

3 et = + 3 4 . PARTIE A

On considère l’algorithme suivant :

Variables : est un entier , , sont des réels est un entier Début : Affecter à

Affecter à Affecter à Saisir

Tant que <

Affecter + à Affecter à Affecter à Affecter à Fin tant que

Afficher Afficher Fin

1. On exécute cet algorithme en saisissant = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci- dessous donnant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme. Ajouter des lignes si nécessaire. Qu’obtient-on comme affichage ?

Tant que ?

2. étant fixé, que permet de calculer cet algorithme ? PARTIE B

1.

a. Montrer que pour tout entier naturel , − = ( − ).

b. Pour tout entier naturel , on pose = − . Montrer que pour tout entier naturel ,

= 8 .

2.

a. Démontrer que la suite ( ) est croissante et que la suite ( ) est décroissante.

b. Déduire des résultats des questions 1)b) et 2)a) que, pour tout entier naturel , on a : ≤ 10 et ≥ 2.

c. En déduire que les suites ( ) et ( ) sont convergentes.

3. Montrer que les suites ( ) et ( ) ont la même limite.

4. Montrer que la suite ( ) définie par = 3 + 4 est constante.

5. En déduire que la limite commune des suites ( ) et ( ) est 46 7 .

D après bac.

(2)

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°10. TS2 PARTIE A

1. On obtient le tableau suivant :

Tant que ?

0 2 10 Oui

1 14/3 8 10 Oui

2 52/9 43/6 14/3 Non

A l’écran, on obtient A= 52

9 et B = 43 6 .

2. Cet algorithme permet de calculer a

N

et b

N

. PARTIE B

1.

a. b

n+1

­ a

n+1

= a

n

+3 b

n

4 ­ 2 a

n

+b

n

3 = 3 a

n

+9b

n

­8 a

n

­4b

n

12 = 5b

n

­5a

n

12 = 5

12 ( b

n

­ a

n

)

b. D’après la question a), pour tout n de É, c

n+1

= 5

12 c

n

. La suite ( ) c

n

est donc géométrique de raison 5

12 et de 1er terme c

0

=10­2=8. Alors, pour tout n de É, = . 2.

a. a

n+1

­ a

n

= 2 a

n

+b

n

3 ­ a

n

= b

n

­a

n

3 = c

n

3 = 8

 5  12

n

3 >0 donc la suite ( ) a

n

est croissante.

b

n+1

­b

n

= a

n

+3b

n

4 ­ b

n

= a

n

­b

n

4 = ­ c

n

4 = ­8

 5  12

n

4 <0 donc la suite ( ) b

n

est décroissante.

b. Pour tout n de É : a

n

=b

n

­ c

n

=b

n

­8

 5  12

n

<b

n

 b

0

car ( ) b

n

décroissante. Or b

0

=10. Ainsi, pour tout n de É, a

n

 10.

b

n

=a

n

+c

n

=a

n

+8

 5  12

n

>a

n

Ãa

0

car ( ) a

n

croissante. Or a

0

=2. Ainsi, pour tout n de É, b

n

à 2.

c. La suite ( ) a

n

est croissante et majorée par 10 donc elle converge vers un réel A.

La suite ( ) b

n

est décroissante et minorée par 2 donc elle converge vers un réel B.

3. ­1< 5

12 <1 donc lim

n↔+õ

c

n

=0. Or lim

n↔+õ

c

n

= lim

n↔+õ

b

n

­ a

n

=B ­A . Ainsi, par unicité de la limite, B ­ A=0 et donc B =A : les suites ( ) et ( ) ont la même limite A.

4. Pour tout n de É :

t

n+1

=3 a

n+1

+4 b

n+1

=2 a

n

+ b

n

+a

n

+3 b

n

=3a

n

+4 b

n

=t

n

. La suite ( ) t

n

est donc constante.

De plus t

0

=3a

0

+4b

0

=46.

5. lim

n↔+õ

a

n

= lim

n↔+õ

b

n

=A donc lim

n↔+õ

3a

n

+4 b

n

=7A . Or lim

n↔+õ

3 a

n

+4 b

n

= lim

n↔+õ

t

n

=46.

On a donc 7 A =46, c'est-à-dire A = 46

7 : la limite commune des suites ( ) a

n

et ( ) b

n

est 46

7 .

Références

Documents relatifs

1) Écrire l'équation de la réaction qui se produit lors de la mise en solution dans l'eau. 2) Calculer les concentrations molaires dans la solution de l'ion oxonium, de l'ion

A partir des connaissances de l'actualité économique, donner les raisons d'une éventuelle hausse (ou baisse) de

(b) Tracer le nuage de points de cette série sur le papier millimétré fourni.. (c) Calculer l’étendue et préciser le mode de

Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l'état des variables au cours de l'exécution de l'a ithme.. Partie

Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que (u n ) est majorée par 3.. Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que (u n ) est majorée

Il permet d’estimer, entre deux périodes données, la variation moyenne des prix des produits consommés par les ménages.. C’est une mesure synthétique de l’évolution de prix

Suites et intégrales … Un mélange classique permettant, à la dernière question, d’obtenir une jolie expression ☺.. Au préalable, il aura fallu effectuer une intégration

Pour cela créer un dossier nommé tableur, ce sera plus simple pour le retrouver parmi tous vos fichiers. Application : Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant les