DEVOIR A LA MAISON N°10. TS2.
Pour le mercredi 6 janvier 2015.
On considère les suites ( ) et ( ) définies par = 2 et = 10 et, pour tout entier naturel :
= 2 +
3 et = + 3 4 . PARTIE A
On considère l’algorithme suivant :
Variables : est un entier , , sont des réels est un entier Début : Affecter à
Affecter à Affecter à Saisir
Tant que <
Affecter + à Affecter à Affecter à Affecter à Fin tant que
Afficher Afficher Fin
1. On exécute cet algorithme en saisissant = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci- dessous donnant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme. Ajouter des lignes si nécessaire. Qu’obtient-on comme affichage ?
Tant que ?
2. étant fixé, que permet de calculer cet algorithme ? PARTIE B
1.
a. Montrer que pour tout entier naturel , − = ( − ).
b. Pour tout entier naturel , on pose = − . Montrer que pour tout entier naturel ,
= 8 .
2.
a. Démontrer que la suite ( ) est croissante et que la suite ( ) est décroissante.
b. Déduire des résultats des questions 1)b) et 2)a) que, pour tout entier naturel , on a : ≤ 10 et ≥ 2.
c. En déduire que les suites ( ) et ( ) sont convergentes.
3. Montrer que les suites ( ) et ( ) ont la même limite.
4. Montrer que la suite ( ) définie par = 3 + 4 est constante.
5. En déduire que la limite commune des suites ( ) et ( ) est 46 7 .
D ’ après bac.
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°10. TS2 PARTIE A
1. On obtient le tableau suivant :
Tant que ?
0 2 10 Oui
1 14/3 8 10 Oui
2 52/9 43/6 14/3 Non
A l’écran, on obtient A= 52
9 et B = 43 6 .
2. Cet algorithme permet de calculer a
Net b
N. PARTIE B
1.
a. b
n+1 a
n+1= a
n+3 b
n4 2 a
n+b
n3 = 3 a
n+9b
n8 a
n4b
n12 = 5b
n5a
n12 = 5
12 ( b
n a
n)
b. D’après la question a), pour tout n de É, c
n+1= 5
12 c
n. La suite ( ) c
nest donc géométrique de raison 5
12 et de 1er terme c
0=102=8. Alors, pour tout n de É, = . 2.
a. a
n+1 a
n= 2 a
n+b
n3 a
n= b
na
n3 = c
n3 = 8
5 12
n
3 >0 donc la suite ( ) a
nest croissante.
b
n+1b
n= a
n+3b
n4 b
n= a
nb
n4 = c
n4 = 8
5 12
n
4 <0 donc la suite ( ) b
nest décroissante.
b. Pour tout n de É : a
n=b
n c
n=b
n8
5 12
n
<b
n b
0car ( ) b
ndécroissante. Or b
0=10. Ainsi, pour tout n de É, a
n 10.
b
n=a
n+c
n=a
n+8
5 12
n
>a
nÃa
0car ( ) a
ncroissante. Or a
0=2. Ainsi, pour tout n de É, b
nà 2.
c. La suite ( ) a
nest croissante et majorée par 10 donc elle converge vers un réel A.
La suite ( ) b
nest décroissante et minorée par 2 donc elle converge vers un réel B.
3. 1< 5
12 <1 donc lim
n↔+õ
c
n=0. Or lim
n↔+õ
c
n= lim
n↔+õ
b
n a
n=B A . Ainsi, par unicité de la limite, B A=0 et donc B =A : les suites ( ) et ( ) ont la même limite A.
4. Pour tout n de É :
t
n+1=3 a
n+1+4 b
n+1=2 a
n+ b
n+a
n+3 b
n=3a
n+4 b
n=t
n. La suite ( ) t
nest donc constante.
De plus t
0=3a
0+4b
0=46.
5. lim
n↔+õ
a
n= lim
n↔+õ
b
n=A donc lim
n↔+õ
3a
n+4 b
n=7A . Or lim
n↔+õ
3 a
n+4 b
n= lim
n↔+õ