() () () () () () LIMITES DE SUITES EXERCICES

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LIMITES DE SUITES EXERCICES

I. On considère la suite ( ) ^{u n} définie sur * par u 1

1

2 et, pour tout n de , u n 1

e ^u

n 2 . 1. Montrer que, pour tout n de *, 0 u n 1.

2. En déduire que, pour tout n de , u _{n 1} e n 2 . 3. Montrer que la suite ( ) ^u n converge.

II. Les suites ( ) ^z n et ( ) ^t n sont définies pour tout n de par z 0 1 ; z n 1 z n 1 et t n e ^z

. On note S n t 0 t 1 … t n .

1. Montrer que la suite ( ) ^{t n} est géométrique.

2. Montrer que , pour tout n de , S n

1 ¹

e ^{n 1}

e 1 et déterminer la limite de la suite ( ) ^S n .

III. Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties. La probabilité que le joueur perde la première partie est 0,2. Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :

* s’il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ;

* s’il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.

Les questions A et B sont indépendantes.

A. On appelle :

E 1 l’événement « le joueur perd la première partie » ; E ₂ l’événement « le joueur perd la deuxième partie » ;

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des deux premières parties. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

1. Déterminer P

E

(E 2 ).

2. Déterminer P (E ₂ ).

3. Sachant que le joueur a gagné la 2 ^ème partie, quelle est la probabilité qu’il ait perdu la 1 ^ère ? 4. Déterminer la loi de probabilité de X.

5. Calculer l’espérance de X. Interpréter par une phrase.

B. Pour tout entier naturel n non nul, on note E n l’événement « le joueur perd la n-ième partie », E _n

l’événement contraire, et on note p _n la probabilité de l’événement E n .

1. Justifier que p n 1 0,05p n +0,05 pour tout entier naturel n non nul. On pourra faire un arbre.

2. On considère la suite u définie pour tout entier naturel n non nul par : u _n p _n 1 19 . a. Montrer que u est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. En déduire u _n puis p _n en fonction de n.

c. Calculer la limite de p _n quand n tend vers  . Interpréter.

IV. D après bac.

Soit u la suite définie par u 0 2 et, pour tout entier naturel n, u n+1 2u n +2 n²−n . On considère également la suite v définie pour tout n de par v n u n 2 n² 3n 5.

1. Voici ci-contre une feuille de tableur.

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et v ?

2. Déterminer, en justifiant, une expression de v _n et de u _n en fonction de n uniquement.

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V. Nouvelle Calédonie Novembre 2017.

Soit (u n ) la suite définie par u 0 3 , u 1 6 et, pour tout entier naturel n : u n 2

5 4 u n 1

1 4 u n . Le but de cet exercice est d’étudier la limite éventuelle de la suite (u n ).

Partie A :

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite (u _n ) à l’aide d’un tableur.

On a reproduit ci-contre une partie d’une feuille de calcul, où figurent les valeurs de u 0 et de u 1 .

1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4, puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir des valeurs de la suite (u n ) dans la colonne B.

2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à 10 ³ près de u n pour n allant de 2 à 5.

3. Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite (u n ) ? Partie B : Étude de la suite

On considère les suites (v _n ) et (w _n ) définies pour tout entier naturel n par : v _n u _{n 1} 1

4 u _n et w _n u _n 7 1.

a. Démontrer que (v _n ) est une suite constante.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n 1

1 4 u n

21 4 .

c. En utilisant le résultat de la question 1. b., montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n u n 1 15.

2.

a. Démontrer que (w _n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n 7

 

  1 4

n 1

. c. Calculer la limite de la suite (u _n ).

VI. D après Nouvelle Calédonie Février 2018.

Pour chacune des affirmations proposées, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier cette réponse.

1. Soit la suite (u _n ) définie pour tout entier naturel n par u 0 14 et u n 1 2u n 5.

Soit la suite (t _n ) définie pour tout entier naturel n par t _n u _n 5.

Affirmation A : Pour tout entier naturel n, u n

9 2 n² 9

2 n 14 Affirmation B : La suite (t _n ) est une suite géométrique.

Affirmation C : Pour tout entier naturel n, u n 9 2 ⁿ 5.

2. Soit une suite (v n ).

Affirmation D : Si, pour tout entier naturel n supérieur à 1, 1 1

n v n 1 1

n alors la suite (v _n ) converge.

3. Affirmation E : Pour tout entier naturel n non nul, (8 1 3) (8 2 3) ... (8 n 3) n(4 n 7).

4. Soit (w _n ) une suite convergente.

Affirmation F : Si, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite (w _n ) sont strictement positifs, alors la limite de la suite (w n ) est aussi strictement positive.

A B

1 n u n

2 0 3

3 1 6

4 2

5 3

6 4

7 5

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VII. Pondichéry. Avril 2017.

On considère deux suites ( ) ^{u n et} ( ) ^{v n :}

• la suite ( ) ^u n définie par u ₀ =1 et pour tout entier naturel n : u _n+1 2u _n −n 3 ;

• la suite ( ) ^{v n} définie, pour tout entier naturel n, par v n 2 ⁿ . Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur. Une copie d’écran est donnée ci-contre.

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?

2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

Conjecturer les limites des suites ( ) ^u n et

 

  u n

v _n . Partie B : Étude de la suite ( ) ^{u n}

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a u _n 3 2 ⁿ n−2.

2. Déterminer la limite de la suite ( ) ^{u n .}

3. A l’aide de la calculatrice, déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Partie C : Étude de la suite

 

  u _n v n

1. En calculant u _n+1 v n+1

u _n v n

, montrer que la suite

 

  u _n v n

est décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entier naturel n 4, on a 0 n 2 ⁿ

1

n . Dét erminer l a limit e de la suit e

 

  u n

v n

.

VIII. ( ) ^{u n} est la suite définie sur par u 0

2 et, pour tout n de , u n 1 u n 6 n 2.

A l aide d un logiciel, on a obtenu le tableau de valeurs et la représentation graphique ci- contre sur laquelle on a ajouté la courbe d une fonction.

Déterminer l expression de ( ) ^{u n} en fonction de n (Faire une conjecture puis la prouver).

A B C

1 rang n terme u _n terme v _n

2 0 1 1

3 1 5 2

13 11 6 153 2 048

14 12 12 298 4 096

15 13 24 587 8 192

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IX. Métropole juin 2013

Soit la suite numérique ( ) ^{u n} définie sur par u 0 = 2 et pour tout n de , u n 1

2 3 u n

1 3 n 1.

1.

a. Calculer u 1 ; u 2 et u 3 . Donner des valeurs approchées à 10 ² près.

b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

2.

a. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n n 3.

b. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n 1 u n

1

3 ( ^{n 3 u n} )

c. En déduire une validation de la conjecture précédente.

3. On désigne par ( ) ^{v n} la suite définie sur par v n u n n.

a. Démontrer que la suite ( ) ^v n est une suite géométrique de raison 2 3 . b. En déduire que pour tout entier naturel n, on a : u n 2  

 

2 3

n

n . c. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u n .

4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose S n 

k 0 n

u k = u 0 u 1 ... u n et T n

S _n n² . a. Exprimer S _n en fonction de n.

b. Déterminer la limite de la suite ( ) ^{T n .}

X. Un détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que :

- parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90% d’entre eux achètent un melon la semaine suivante;

- parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, 60% d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour n>1, on note A n

l’évènement : « le client achète un melon au cours de la semaine n ». On a ainsi p ( ) ^A 1 1.

1.

a. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-contre, relatif aux trois premières semaines.

b. Démontrer que p (A 3 ) 0,85.

c. Sachant que le client achète un melon au cours de la semaine 3, quelle est la probabilité qu’il en ait acheté un au cours de la semaine 2 ? Arrondir au centième.

Dans la suite, on pose pour tout entier n 1 : p _n P (A _n ). On a ainsi p ₁ 1.

2. Démontrer que, pour tout entier n 1 : p _n+1 0,5p _n 0,4.

3. On pose pour tout entier n 1 : v _n p _n 0,8.

a. Démontrer que (v _n ) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme v ₁ et la raison.

b. Exprimer v n en fonction de n.

En déduire que, pour tout n 1, p _n 0,8 0,2 0,5 ^{n −1} .

c. Déterminer la limite de la suite ( ) ^p n .