Limites de suites - Exercices

Limites de suites - Exercices

_T^ale_S

Exercice 1

Soit (un) une suite d´efinie pour tout n∈IN par u_n=n² +n−1.

1. Exprimer en fonction de n : a) un−1 b) un+1 c) un+1−un

2. La suite (u_n) est-elle arithm´etique ? 3. Quel est le sens de variation de (u_n) ?

Exercice 2

Dans chaque cas pr´eciser si la suite (un) est arithm´etique, g´eom´etrique, ou ni l’un ni l’autre. Exprimer alors, lorsque cela est possible,u_n en fonction den.

a. Pour tout n∈IN, u_n=n².

b. u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 =un−5.

c. Pour tout n∈IN, un= 2n²+ 5n+ 3 n+ 1 . d. Pour tout n∈IN^∗, u_n= 3²ⁿ⁺¹

2n .

e. u0 = 3 et pour tout entier naturel n, u_n+1 =−2

3u_n+ 4.

Exercice 3

Soit (un) la suite d´efinie pour tout entier naturel n non nul par u_n = n+ 1 n²+ 1. 1. D´eterminer la fonction f telle que u_n =f(n).

2. Etudier le sens de variation de f et en d´eduire celui de (un).

3. Calculer u10, u100,u10 000, u10⁸ et u10¹⁶.

Que peut-on dire des valeurs de u_n lorsque n devient de plus en plus grand ?

Exercice 4

Mˆeme exercice avec les suites (un) d´efinies pour tout entier natureln par 1) u_n = n²−1

n²+ 1. 2) u_n = 3n²+ 4n−5. 3) u_n =−n³+ 6n²−9n+ 5.

Exercice 5

Soit la suite (un) d´efinie par u0 = 1 et pour tout entier n, u_n+1 = 1 u_n + 1.

D´eterminer la fonction f telle que u_n+1 =f(un). Tracer C^f et placer u0,u1,u2, u3 et u4 sur l’axe des abscisses.

Exercice 6

(un) est la suite d´efinie paru0 = 3 et, pour tout entier n, u_n+1= 3u_n 3 + 2un

. Pour tout entier n, on pose v_n= 3

u_n.

1. D´emontrer que (vn) est une suite arithm´etique.

2. En d´eduire une expression de v_n, puis de u_n en fonction n.

Exercice 7

(un) est la suite d´efinie paru0 = 1 et, pour tout entier n, u_n+1= 2

3u_n− 1 6. Pour tout entier n, on pose v_n= 2un+ 1.

1. D´emontrer que (vn) est une suite g´eom´etrique.

2. En d´eduire une expression de v_n, puis de u_n en fonction n.

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Exercice 8

Soit la suite (un) d´efinie par u0 = 2 et, pour tout entier n,u_n+1 =√

u_n+ 5.

Montrer que, pour tout entiern, 0≤u_n ≤3.

Exercice 9

Montrer que, pour tout n≥10, 2ⁿ ≥100n.

Exercice 10

Soit la suite v d´efinie parv0 = 2, puis pour tout entier n, v_n+1 = 1 + 1 vn

. Montrer que pour tout entier naturel n, 3

2 ≤v_n≤2.

Exercice 11

Somme des premiers entiers, de leurs carr´es, de leurs cubes.

1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 1 + 2 + 3 +· · ·+n = n(n+ 1)

2 .

2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 1²+ 2²+ 3²+· · ·+n² = n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

3. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 1³+ 2³+ 3³+· · ·+n³ = n²(n+ 1)²

4 .

Exercice 12

Soit n un entier naturel non nul, et S_n la somme : S_n= Xn

p=1

1 p(p+ 1). 1. Ecrire un algorithme permettant de calculer S_n o`un est un entier choisi par l’utilisateur.

2. Montrer par r´ecurrence que pour tout entier n ≥0, Sn= n n+ 1 3. a) V´erifier que pour tout entier p non nul, 1

p(p+ 1) = 1 p − 1

p+ 1 b) Retrouver alors le r´esultat du 1. par une autre m´ethode.

Exercice 13

^{Soit a} un r´eel strictement positif. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier natureln, (1 +a)ⁿ ≥1 +na (in´egalit´e de Bernoulli).

Exercice 14

Soit u la suite d´efinie paru0 = 3, et pour tout entier n par u_n+1= 2(u_n−1).

Calculer les premiers termes de cette suite, et conjecturer une expression de u_n. D´emontrer alors cette conjecture.

Exercice 15

Soit la suite ud´efinie par u0 = 5 et, pour tout entier n, u_n+1 =√

3un+ 1.

D´emontrer que cette suite est monotone.

Exercice 16

Dans chacun des cas suivants, d´eterminer la limite de la suite (u_n) : a) u_n =n³+1

n b) u_n = (3n+ 1)(−7n+ 5) c) u_n= 3− 4

n 2 n²

d) u_n=n³−n²+ 3n−1

e) u_n= 2n²+ 1

−n²+ 6 f) u_n = n²+ 3n−5

n³−6n²+ 1 g) u_n=n√

n−n h) u_n= (−2n+ 3) n+ 3

−n² +n+ 6 i) u_n= n

n+√

n j) u_n= 9−n²

(n+ 1)(2n+ 1) k) u_n= 1

3− n

(2n+ 1)² l) u_n = 2

3n− 2n² + 3 3n² +n+ 1

Exercice 17

^{D’apr`es BAC}

(un) est une suite d´efinie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,u_n+1 =u_n+ 2n+ 3.

a. Etudier le sens de variation de (un).

b. D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier n, u_n= (n+ 1)².

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c. En d´eduire que, pour tout entier n,u_n >n². d. La suite (un) est-elle minor´ee ? major´ee ? Justifier.

e. Donner la limite de (un).

Exercice 18

Soit la suite ud´efinie par u0 = 5 et u_n+1 =√

3un+ 1 1. Montrer que (un) est d´ecroissante.

2. Montrer que la suite (un) est minor´ee.

3. En d´eduire que la suite (un) est convergente.

Exercice 19

Soit la suite (un) d´efinie paru0 = 0 et u_n+1 =√

u_n+ 5.

1) Montrer que cette suite est croissante.

2) Montrer que pour tout entier n, 0≤un≤3. En d´eduire que la suite (un) est convergente.

3) D´eterminer la limite l de la suite (un).

Exercice 20

On consid`ere la fonctionf d´efinie sur IR parf(x) = 3

2x, et la suite (un) d´efinie par u0= 3, puis pour tout entier n, u_n+1=f(u_n).

1. Appliquer le th´eor`eme du point fixe `a la suite (un).

2. Calculer u0,u1 et u2 et conjecturer l’expression de u_n en fonction de n.

D´emontrer cette conjecture. Quelle est la nature de la suite (un) ? Quelle est sa limite ?

Exercice 21

Soit la suite ud´efinie par u0 = 2 et, pour tout entier n, par u_n+1= 4− 3 u_n. 1. a) Dans un rep`ere orthonormal (unit´e graphique 4cm), tracer la droite ∆ d’´equation y=xet

la courbe C^f repr´esentant la fonction f d´efinie sur ]0; +∞[ par l’expression f(x) = 4− 3 x. b) Placer sur l’axe des abscisses, et sans effectuer aucun calcul, les termes u0, u1, u2 etu3. c) Quelle conjecture peut-on faire sur la suite u.

2. a) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n∈IN, 2≤u_n ≤3.

b) D´emontrer que la suite u est croissante, et en d´eduire qu’elle converge.

c) D´eterminer alors la limite de la suite u.

Exercice 22

(u_n) est la suite d´efinie par u0 = 3 et, pour tout entier n, u_n+1 = 3un

3 + 2un

. Pour tout entier n, on pose vn= 3

u_n.

1. D´emontrer que (v_n) est une suite arithm´etique.

2. D´eterminer la limite de la suite (un).

Exercice 23

1. Soita un r´eel strictement positif.

D´emontrer par r´ecurrence que pour out entier n, (1 +a)ⁿ >1 +na.

2. Soit (vn) une suite g´eom´etrique de premier terme v0 >0 et de raison q >1.

Montrer que lim

n→+∞v_n = +∞ .

Exercice 24

On consid`ere la suite (u_n) d´efinie paru0 = 2 et, pour tout entier n,u_n+1 = 1 4u_n+ 6 et la suite (vn) d´efinie sur IN par v_n =u_n−8.

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1. D´emontrer que la suite (vn) est g´eom´etrique.

2. En d´eduire l’expression de v_n, puis de u_n en fonction den. 3. D´eterminer les limites des suites (vn) et (un).

Exercice 25

Soit la suite ud´efinie par u0 = 2 et, pour tout entier n, u_n+1 = 5un−1 u_n+ 3 . 1^`ere m´ethode a) v´erifier que pour tout n∈IN,u_n+1 = 5− 16

u_n+ 3. b) Montrer que, pour tout n∈IN,u_n ∈[1; 2].

c) Etablir la relation u_n+1−u_n=−(un−1)²

u_n+ 3 , et en d´eduire le sens de variation deu. d) D´emontrer que u converge et d´eterminer sa limite l.

2<sup>`eme</sup> m´ethode On consid`ere la suite v d´efinie pour tout n ∈IN par v_n= 1 u_n−1. a) Prouver quev est une suite arithm´etique de raison 1

4. b) Exprimer pour tout n, v_n puis u_n en fontion den.

c) En d´eduire la convergence deu et sa limite.

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