Soit Ω un point du plan et R un réel strictement positif.

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Énoncé

On se place ¹ dans un plan P muni d'un produit scalaire noté ( / ) et d'un repère orthonormé (O,~i,~j ) .

Soit Ω un point du plan et R un réel strictement positif.

PARTIE I

1. Étant donné un point M du plan, combien existe-t-il de points M ⁰ vériant les deux conditions :

( Les points M, M ⁰ et Ω sont alignés.

( −−→

ΩM / −−→

ΩM ⁰ ) = R ²

2. On considère l'application φ , de P \ {Ω} dans lui-même, qui, à tout point M distinct de Ω associe le point M ⁰ tel que :

( Les points M, M ⁰ et Ω sont alignés.

( −−→

ΩM / −−→

ΩM ⁰ ) = R ²

Montrer que l'application φ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.

3. Quelle est l'image par φ d'un cercle de centre Ω ?

4. Quelle est l'image par φ d'une droite passant par Ω privée de Ω ?

5. Soit M un point du plan d'axe z . On note z Ω l'axe de Ω et z ⁰ l'axe de φ(M ) . Exprimer z ⁰ en fonction de z, z Ω et R .

PARTIE II

1. On suppose dans cette question que Ω est le point d'axe 1 et que R = 1 . a. Déterminer l'ensemble A des réels θ pour lesquels le point M (θ) d'axe

z = 1

2 (1 + e ^iθ ) n'est pas le point Ω .

b. Pour θ ∈ A déterminer l'image par φ du point M (θ) .

c. Déterminer l'image par φ du cercle de diamètre [OΩ] privé de Ω .

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d'après Banque PT épreuve B 2009

d. Déterminer l'image par φ de l'axe des ordonnées.

2. Soit (E) l'ellipse d'équation

3x ² + 4y ² = 12

a. Déterminer l'excentricité et les foyers de cette ellipse.

b. On note F le foyer d'abscisse positive. Donner une équation polaire de (E) dans le repère (F,~i,~j) .

c. On suppose dans cette question que Ω est le point F et que R = 1 .

Déterminer une équation polaire dans le repère (F,~i,~j) de l'image de (E) par φ . 3. On suppose dans cette question que Ω est le point O et que R = √

2 . Soit (H) l'hy- perbole d'équation xy = 1 .

Déterminer l'image de (H ) par φ (on pourra commencer par déterminer une équation polaire de (H ) ).

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Corrigé PARTIE I

1. Remarquons d'abord que si M = Ω , le produit scalaire de la deuxième condition est nul pour tout point M ⁰ . Dans ce cas, il n'existe aucun point vériant les conditions.

Lorsque M 6= Ω , le vecteur −−→

OM est non nul, la condition d'alignement se traduit par l'existence d'un réel λ tel que − −− →

OM ⁰ = λ −−→

OM . La deuxième condition est réalisée si et seulement si

λ = R ² k −−→

OM k ² Il existe donc un unique point M ⁰ dans ce cas.

2. La question précédente montre que les relations proposées dénissent une application Φ de P \ {Ω} dans lui même. De plus dans cette dénition, les points M et M ⁰ jouent des rôles symétriques. On en déduit que

Φ ◦ Φ = Id _P\{Ω}

Cette relation montre que Φ est bijective et égale à sa bijection réciproque.

3. Avec les dénitions, il est bien clair que l'image d'un cercle de centre Ω et de rayon r est un cercle de centre Ω et de rayon ^R _r

.

4. L'image d'une droite passant par Ω et privée de Ω est elle même.

5. Comme les points sont alignés, il existe un λ réel tel que z ⁰ −z Ω = λ(z−z Ω ) . Le produit scalaire donne alors :

( −−→

OM / − −− →

OM ⁰ ) = Re (z − z Ω )λ(z − z Ω ) = λ|z − z Ω | ²

⇒ z ⁰ = z _Ω + R ²

|z − z _Ω | ² = z _Ω + R ² z − z _Ω

PARTIE II

1. a. Comme l'axe de Ω est 1 , z = 1 si et seulement si e ^iθ = 1 . L'ensemble A cherché est donc R − 2π Z.

b. D'après la question 5. l'axe de Φ(M (θ)) est

1 + 1

1 + e ^−iθ 2 − 1

= 1 + 2

e ^−iθ − 1 = e ^−iθ + 1

e ^−iθ − 1 = i cotan θ 2

θ Φ(M (θ))

M (θ)

axe i cotan ^θ ₂

O Ω

Fig. 1: Image du cercle de diamètre [CΩ]

c. Les points M (θ) d'axe ¹ ₂ + ¹ ₂ e ^iθ décrivent le cercle de diamètre [Ω, O] . L'image de ce cercle privé de Ω est donc formé par les points dont l'axe a été calculée en b. Cette image est donc l'axe (Oy) . Voir la gure 1.

d. Comme Φ est sa propre bijection réciproque (involution), l'image de l'axe des ordonnées est le cercle de diamètre [Ω, O] privé de Ω .

2. a. On peut former l'équation réduite à partir de celle de l'énoncé.

x ² 2 ² + y ²

( √ 3) ² = 1

On en déduit que (E) est une ellipse d'axe focal (Ox) car 2 > √

3 . La distance centre-sommet est a = 2 . Le demi petit-axe est b = √

3 . Pour une ellipse, la distance centre-foyer est c = √

a ² − b ² = 1 . Les foyers sont donc les points F ⁰

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de coordonnées (−1, 0) et F de coordonnées (1, 0) . L'excentricité e = ^c _a = ¹ ₂ . La distance centre-directrice est ^a _e = 4 . On note D la droite d'équation x = 4 avec l'origine du repère en O centre de l'ellipse.

b. Tout point M de (E) est à gauche de D . En utilisant des coordonnées polaires avec l'origine en F (et pas en O ), on a donc

( d(M, F ) = ρ

d(M, D) = 3 − ρ cos θ ⇒ d(M, F ) = ed(M, D) ⇔ 2ρ = 3 − ρ cos θ L'équation polaire de (E) est donc

ρ =

3 2

1 + ¹ ₂ cos θ

c. Dans cette question, Ω est le point F d'axe 1 . L'axe d'un point de la représen- tation paramétrique de la question précédente est _2+e ³

e ^iθ l'axe de son image est donc

1

3 (2 + cos θ)e ^iθ Soit, en revenant en coordonnées polaires :

ρ = 1

3 (2 + cos θ)

3. Attention, dans cette question, le pôle Ω est en O que n'est pas un foyer de l'hyperbole.

Il est inutile de chercher une représentation polaire avec pôle au foyer. On peut écrire directement que l'équation polaire de (H ) est

ρ = 1

√ sin θ cos θ

Pour obtenir l'image, on inverse ρ et on multiplie par R ² . L'équation polaire de l'image de (H) est donc

ρ = 2 √

sin θ cos θ

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