Soit a un réel strictement positif xé. Pour t ∈ [−π, π] , on appelle M (t) le point de coordonnées

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Étude de l'astroïde

Soit a un réel strictement positif xé. Pour t ∈ [−π, π] , on appelle M (t) le point de coordonnées

(8a cos

t, 8a sin

t) dans un repère orthonormé xé (O, − →

i , − → j ) . Soit (C) le support de la courbe paramétrée M .

1. a. Déterminer les axes de symétries de (C) .

b. Étudier et construire (C) . Préciser les points stationnaires.

c. Calculer la longueur totale de (C) . On admet que cette longueur l est donnée par

l = Z

−π

k −→

M

(t)kdt

2. a. Écrire une équation de la tangente D(t) en M (t) .

b. Lorsque M (t) n'est pas stationnaire, on note A(t) et B(t) les points d'intersection de D(t) avec les axes. Calculer la longueur A(t)B(t) . Interpréter.

3. Soit t

∈ [−π, π] et P

le point du cercle de centre O et de rayon 4a tel que ( − →

i , −−→

OP

) = t

(il s'agit d'un angle orienté)

a. Montrer que par P

passent en général quatre tangentes à (C) .

Montrer que trois de ces tangentes font deux à deux des angles égaux. Que peut-on dire de la quatrième ?

b. Indiquer une construction géométrique de la droite D(t

) à partir du point P

. c. Soit H (t

) la projection orthogonale de O sur D(t

) .

Calculer −−−−−→

OH (t

) + −−−−−→

OM (t

) En déduire une construction géométrique de M (t

) .

1d'après ESM Saint Cyr Math 2 Option M 1993

Corrigé

Fig. 1: Tracé de l'astroïde

1. a. La courbe est symétrique par rapport aux droites passant par l'origine et dirigées par − →

i , − → j , − →

i + − → j .

Les points M (−t) , M (π − t) , M (

− t) sont respectivement les symétriques de M (t) par rapport aux trois droites.

b. La courbe est birégulière sauf aux points où t est congru à 0 modulo

. Par raison de symétrie, ces points sont des points de rebroussement.

Au point stationnaire M (0) , le vecteur tangent est dirigé par la dérivée seconde

− − →

M

(0) = −24a − → i

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Les tangentes aux autres points de rebroussement s'obtiennent par symétrie. On peut noter que la tangente en M (

) est orthogonale à la première bissectrice.

c. En notant L la longueur totale de la courbe et − → u

= cos t − →

i + sin t − →

j , on obtient

−→ M

(t) = −24a sin t cos t − → u

= 12a sin 2t − → u

d'où

L = 4 Z

0

− → M

(t)

dt = 48a Z

0

sin 2t dt = 48a

Fig. 2: Tracé de 50 segments tangents

2. a. Lorsque M (t) n'est pas un point singulier, une équation de D(t) est

(x − 8a cos

t) sin t + (y − 8a sin

t) cos t = 0 ⇔ x sin t + y cos t = 8a sin t cos t

b. On peut calculer les coordonnées de A(t) et B (t) . Il vient

coordonnées de A(t) : (8a cos t, 0) coordonnées de B(t) : (0, 8a sin t) La longueur du segment A(t)B(t) est donc constante égale à 8a .

On peut se faire idée des tangentes à l'astroïde en faisant glisser sur les axes les deux extrémités d'un segment de longueur xe (Fig. 2).

P

0 D(t

)

C

Fig. 3: Construction de D(t

)

3. a. On cherche les t tels que D(t) contienne le point de coordonnées (2a cos t

, 2a sin t

)

Ils doivent vérier

4a cos t

sin t + 4a sin t

cos t = 8a sin t cos t ⇔ sin(t + t

) = sin 2t La dernière équation équivaut à

t = t

ou t ≡ π − t

3 ( π

3 )

La deuxième relation conduit à trois tangentes faisant entre elles un angle de

. La quatrième tangente est D(t

) qui passe par P

et de direction − → u

.

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b. D'après la question précédente, on peut construire la droite D(t

) en remarquant qu'elle est symétrique de (OP

) par rapport à la droite de direction − →

j qui passe par P

. (Fig. 3)

P

0 H

K

M

D

Fig. 4: Construction géométrique de M

c. On note avec un indice 0 tous les objets relatifs à t

. Cherchons H

= H(t

) sous la forme

(λ sin t

, λ cos t

) pour que −−→

OH

soit orthogonal D

. On remplace dans l'équation de D

et on obtient

λ = 8a sin t

cos t

puis −−→

OH

+ −−−→

OM

= 8a − → u

Dénissons K

par

−−→ OH

+ −−−→

OM

= −−→

OK

Il est sur un cercle deux fois plus grand que C et aligné avec 0 et P

. De plus,

−−−→ OM

= −−−→

H

K

donc (O, M

, K

, H

) est un parallélogramme ce qui entraîne que M

est symé- trique de H

par rapport au centre P

du parallélogramme.

On peut donc construire M

à partir de P

(Fig. 4) Sur la gure on a fait gurer K

pour éclairer la démonstration (il est utile à celle-ci mais pas à la construction).

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