Soit a un réel strictement positif xé. Pour t ∈ [−π, π] , on appelle M (t) le point de coordonnées

MPSI B DM 4 29 juin 2019

Exercice 1

Étude de l'astroïde

Soit a un réel strictement positif xé. Pour t ∈ [−π, π] , on appelle M (t) le point de coordonnées

(8a cos

t, 8a sin

t) dans un repère orthonormé xé (O, − →

i , − → j ) . Soit (C) le support de la courbe paramétrée M .

1. a. Déterminer les axes de symétries de (C) .

b. Étudier et construire (C) . Préciser les points stationnaires.

c. Calculer la longueur totale de (C) . On admet que cette longueur l est donnée par

l = Z

−π

k −→

M

(t)kdt

2. a. Écrire une équation de la tangente D(t) en M (t) .

b. Lorsque M (t) n'est pas stationnaire, on note A(t) et B(t) les points d'intersection de D(t) avec les axes. Calculer la longueur A(t)B(t) . Interpréter.

3. Soit t

∈ [−π, π] et P

le point du cercle de centre O et de rayon 4a tel que ( − →

i , −−→

OP

) = t

(il s'agit d'un angle orienté)

a. Montrer que par P

passent en général quatre tangentes à (C) .

Montrer que trois de ces tangentes font deux à deux des angles égaux. Que peut-on dire de la quatrième ?

b. Indiquer une construction géométrique de la droite D(t

) à partir du point P

. c. Soit H (t

) la projection orthogonale de O sur D(t

) .

Calculer

−−−−−→

OH (t

) + −−−−−→

OM (t

) En déduire une construction géométrique de M (t

) .

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d'après ESM Saint Cyr Math 2 Option M 1993

Exercice 2

Dans un plan reporté à un repère orthonormé, on considère trois cercles C , C

, C

dénis par les condition suivantes :

C est centré en (0, 1) et passe par l'origine.

C

est tangent extérieurement à C , tangent à l'axe d'équation y = 0 et centré en A d'abscisse a > 0

C

est tangent extérieurement à C et C

,tangent à l'axe d'équation y = 0 et centré en B d'abscisse b < a .

Montrer qu'il existe une fonction ϕ d'expression très simple telle que b = ϕ(a) . Calculer les rayons de C

et C

en fonction de a . (faire une gure explicative)

Exercice 3

Soient a , b , c trois nombres complexes. Quelles relations doivent lier ces trois nombres pour que les images dans le plan complexe des racines (z

, z

, z

) du polynôme X

+ aX

+ bX + c forment, avec l'origine O d'axe 0, un carré ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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