MPSI B 2009-2010 DM 7 29 juin 2019
On se place dans un planP rapporté à un repère orthonormé d'origineO. Dans tout le problème,α∈]0, π[−{π2}.
On dénit des applications a, h, f de C dans C par les formules suivantes valables pour toutz∈C:
a(z) = zcos2α
2 +zsin2α 2 h(z) = 2
sinαz f(z) = h◦a(z)
On note A,H, F les transformations du plan qui à un point d'axez associent respecti- vement les points d'axesa(z),h(z),f(z).
On note I, J, K les points respectivement d'axes 1, j, j2 et U, V, W les points respectivement d'axesu=f(1),v=f(j),w=f(j2).
On note ennCle cercle de centreO et de rayon 12 Partie I
1. Soit M un point du plan de coordonnées (x, y), calculer les coordonnées des points A(M),H(M), F(M). Préciser la nature des transformationsA etH.
2. Montrer que l'image de C par F est une conique (notée E). Préciser le genre et les foyers deE.
Partie II
1. Former les équations des droites(IJ), (IK), (J K). Exprimer la distance d'un point M de coordonnées(x, y)à ces droites.
2. Montrer queC est le cercle inscrit dans le triangle(IJ K).
3. Montrer que chacun des segments [U V], [U W], [V W] est tangent en son milieu à la coniqueE.
Partie III
1. Montrer que pour toutzcomplexe : f(z) = z
tanα2 +ztanα 2 2. Calculeru+v+wetuv+uw+vw.
3. En déduire les racines deP0(x)(dérivée formelle) du polynôme P(x) = (x−u)(x−v)(x−w)
Ceci démontre dans un cas particulier le théorème de van der Berg1 :
Lorsque les sommets d'un triangle forment les trois racines d'un polynôme, l'ellipse tangente au milieu de chaque côté admet pour foyers les racines du polynôme dérivé.
Partie IV
1. Soit(z0, z1, z2)trois nombres complexes. On dit que(z0, z1, z2)vérie(∗)lorsque :
z0+z1+z2 = 0
z0z1+z0z2+z1z2 = −3
Montrer que (z0, z1, z2) vérie (∗) si et seulement si z1 et z2 sont les racines d'une certaine équation du second degré à préciser.
2. Former un triplet(z0, z1, z2)vériant(∗)avecz0= 4. Trouver unαtel que z0=f(1) z1=f(j) z2=f(j2)
1d'après Polynomials, Prasolov, Springer
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0907E
