TS 10 questions : Espace et Probabilités 2010-2011
(Arrondir les résultats au millième)
1. On donne A(−1,2,3),B(1,−3,5) etC(0,1,−1). Les pointsA, B etC sont-ils alignés ?
Solution :−−→ AB
2
−5 2
et−−→ BC
−1 4
−6
. Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles, par
exemple : 2×(−3) =−6 et−5×(−3)6= 4. Ainsi les vecteurs ne sont pas colinéaires et les pointsA, B etC ne sont pas alignés.
2. Avec les mêmes coordonnées qu’à la question 1, calculer les coordonnées d’un vecteur normal au plan (ABC).
Solution : Les pointsA, B etC n’étant pas alignés, ils définissent un plan dont les vecteurs−−→ ABet −−→
BCsont des vecteurs directeurs. Un vecteur normal~n
a b c
au plan (ABC) vérifie : ( −−→
AB.~n= 0
−−→
BC.~n= 0 ⇔
2a−5b+ 2c= 0
−a+ 4b−6c= 0 ⇔
2a+ 2c= 5b a+ 6c= 4b ⇔
a=11b 5 c= 3c 10
. On prendb= 10 et l’on obtient le
vecteur~n
22 10 3
vecteur normal au plan (ABC)
3. Toujours avec les mêmes coordonnées qu’à la question 1, donner une équation cartésienne du plan (ABC).
Solution :D’après ce qui précéde, une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme 22x+10y+3z+d= 0.
On déterminedavec par exemple les coordonnées du pointC(0,1,−1) : 22×0+10×1+3×(−1)+d= 0⇔d=−7.
Ainsi (ABC) : 22x+ 10y+ 3z−7 = 0
4. SoitD la droite de représentation paramétrique
x= 5 + 3t
y=−1 + 2t , t∈(R) z=−t
Quelles sont les coordonnées du point d’intersection deD avec le plan d’équation : 2x+y−z= 3 ?
Solution : En remplaçantx, y et z dans l’équation du plan par les équations paramétriques deD, on obtient la valeur du paramètre du point d’intersection :
2(5 + 3t) + (−1 + 2t)−(−t) = 3⇔10 + 6t−1 + 2t+t= 3⇔9t=−6⇔t=−2 3 Comme il y a une solution, la droiteD coupe bien le plan (ABC) en (3;−7
3;2
3) (coordonnées trouvées en rem- plaçanttpar−2
3 dans les équations paramétriques deD.
5. Donner une représentation paramétrique de la droite passant parA(−1,2,3) et parallèle à la droiteD définie par le système
x−z+ 1 = 0 y−2z−2 = 0
Solution :
x−z+ 1 = 0 y−2z−2 = 0 ⇔
x=z−1 y= 2z+ 2 z=t
x=−1 +t
y= 2 + 2t (t∈R) z=t
. On obtient une représentation para- métrique de D. La droite D′ passant par A(−1,2,3) et parallèle à la droite D a le même vecteur directeur
~ u
1 2 1
. On a :D′
x=−1 +t
y= 2 + 2t (t∈R) z= 3 +t
6. On lance 5 dés irréprochables simultanément. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux faces numérotées 1 ? Solution : Obtenir 1 avec un dé est une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du "succès" est 1
6. Lancer 5 dés irréprochables simultanément est une répétion d’épreuve de Bernoulli indépendantes donc la variableX qui
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compte le nombre de 1 suit une loi binomiale de paramètres 5 et 1 6. Ainsip(X = 2) =
5 2
1 6
2 5 6
3
≈0.161 arrondi au millième.
7. Un jeu consiste à tirer simultanément 3 boules d’une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges. On supp
Solution : Nombre de tirages possibles de 3 boules : 10
3
= 120
Ainsip(2blanches) = 6
2
× 4
1
120 = 0.5
8. Dest une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1
82. Calculerp(306D650) Solution : p(306D650) =
Z 50 30
λe−λtdt= [−e−λt]5030=e−30λ−e−50λ≈0.15 9. Dest la variable de la question précédente. Calculer p(D>300)
Solution : p(D>300) = 1−p(06D6300) = 1− Z 300
0
λe−λtdt= 1−[−e−λt]3000 =e−300λ≈0.026
10. Dest toujours la variable de la question 8. Sachant queD>350, quel est la probabilité de l’événement (D>375) ? Solution : Comme la variableDsuit la loi exponentielle, elle suit également un loi de durée de vie sans vieillis- sement doncp(D>350)(D>375) =p(D>25) =e−25λ≈0.737
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