Soient f une fonction dénie sur R à valeurs réelles, x 0 P R et h un réel strictement positif. On note D h l'opérateur déni par

L3-Math Analyse Numérique

Institut Galilée Année 2012-2013

Travaux dirigés - 8 Exercice 1

Soient f une fonction dénie sur R à valeurs réelles, x ₀ P R et h un réel strictement positif. On note D _h l'opérateur déni par

D _h f p x ₀ q f p x ₀ h { 2 q f p x ₀ h { 2 q . (1.1) Cet opérateur est appelé opérateur de diérence première centrée.

Q. 1 Montrer que l'opérateur D h est linéaire.

Q. 2 Montrer que si f P C ³ pR , Rq alors, @ x ₀ P R , @ h ₀ P R , h ₀ ¡ 0, D C ¡ 0 tel que | f ¹ p x ₀ q D _h f p x ₀ q

h | ¤ Ch ² , @ h ¤ h ₀ . (1.2)

Soit m P N . On dénit récursivement

D ^m _h f D _h p D ^m _h ¹ f q avec D ⁰ _h f f. (1.3) Q. 3 1. Déterminer D ² _h f, D ³ _h f et D ⁴ _h f.

2. Montrer que ces opérateurs sont linéaires.

3. Montrer que si f P C ⁶ pR , Rq alors, @ x 0 P R , @ h 0 P R , h 0 ¡ 0, D C ¡ 0 tel que | f ^{p 4 q} p x 0 q D ⁴ _h f p x 0 q

h ⁴ | ¤ Ch ² , @ h ¤ h 0 . (1.4)

Exercice 2

Soient f une fonction dénie sur R à valeurs réelles, x 0 P R et h un réel strictement positif. On note D _h l'opérateur déni par

D _h f p x 0 q f p x 0 h q f p x 0 q . (2.1) Cet opérateur est appelé opérateur de diérence première progressive.

Soit m P N . On dénit récursivement

D _h ^,m f D _h p D _h ^{,m 1} f q avec D _h ^,0 f f. (2.2) Q. 1 1. Déterminer D _h ^,2 f et D _h ^,3 f .

2. Montrer que l'opérateur D _h ^,m est linéaire.

On suppose par la suite que f P C ³ pR , Rq . On pose x ₁ x ₀ h et x ₂ x ₀ 2h. Soit g la fonction dénie par g p x q f p x ₀ q D _h f p x 0 q

h p x x ₀ q D _h ^,2 f p x 0 q

2h ² p x x ₀ qp x x ₁ q . On note r la fonction dénie par r f g.

Q. 2 1. Vérier que r p x j q 0, @ j P v 0, 2 w .

2. En déduire qu'il existe ξ 0 P r x 0 , x 1 s et ξ 1 P r x 1 , x 2 s tels que

f ¹ p ξ 0 q g ¹ p ξ 0 q et f ¹ p ξ 1 q g ¹ p ξ 1 q . Q. 3 1. Montrer qu'il existe η P r ξ ₀ , ξ ₁ s tel que r ² p η q 0.

1

2. En déduire que

r ² p x q

» x η

f ^{p 3 q} p t q dt. (2.3)

3. Montrer que, pour tout x P r x ₀ , x ₂ s

| f p x q g p x q| ¤ 2h ³ max

t Pr x

,x

s | f ^{p 3 q} p t q| . (2.4) Q. 4 1. A l'aide d'un développement de Taylor, montrer que pour tout x P r x 0 , x 2 s , il existe ξ P r x 0 , x s tel

que

f p x q G p x q f ^{p 3 q} p ξ q

3! p x x ₀ q ³ (2.5)

où l'on explicitera le polynôme G.

2. En déduire une majoration de | f p x q G p x q| .

Q. 5 Comparer g et G. Conclure.

Exercice 3

Soient f P C ³ pR , Rq , x ₀ P R et h un réel strictement positif. On note D _h l'opérateur déni par

D h f p x 0 q f p x 0 h { 2 q f p x 0 h { 2 q . (3.1) Q. 1 Montrer qu'il existe ξ P r x 0 , x 0 h { 2 s , ξ P r x 0 h { 2, x 0 s tels que

D h f p x 0 q

h f ¹ p x 0 q f ^{p 3 q} p x 0 q

24 h ² f ^{p 5 q} p ξ q f ^{p 5 q} p ξ q

5!2 ⁵ h ⁴ . (3.2)

Q. 2 1. En déduire l'expression de f ¹ p x 0 q en fonction de D _{h { 2} f p x 0 q et D h f p x 0 q avec un reste en O p h ⁴ q .

2. Donner une majoration de

| f ¹ p x 0 q 8f p x 0 h { 4 q 8f p x 0 h { 4 q f p x 0 h { 2 q f p x 0 h { 2 q

3h | .

Exercice 4

Soient g P C ⁰ pr 1; 1 s , Rq et t 1   t 2   . . .   t M , M points de l'intervalle r 1; 1 s . On note

L _i p t q

¹ M j 1 j i

t t j

t i t j

, @ i P v 1, M w .

Q. 1 Montrer que les t L i u i Pv 1,M w forment une base de R M 1 r X s . Q. 2 Montrer que la formule de quadrature

J p g q

¸ M i 1

w i g p t i q est exacte pour les polynômes de degré M 1 si et seulement si

w j

» 1 1

L j p t q dt, @ j P v 1, M w . (4.1)

On xe M 4. Soient α Ps 0; 1 r , t ₁ 1, t ₂ α, t ₃ α, t ₄ 1.

2

Q. 3 Déterminer p w _i q i Pv 1,4 w en fonction de α de telle sorte que

@ P P R 3 r X s , J 4 pPq

» 1 1

Pp t q dt. (4.2)

Q. 4 Déterminer la valeur maximum de r P N telle que

J ₄ pPq

» 1 1

Pp t q dt, @ P P R r r X s . (4.3)

Expliciter les valeurs de α et des p w i q i Pv 1,4 w .

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