Probabilité
1. Expérience aléatoire
Considérons les expériences suivantes a) On jette un dé et on note le point obtenu.
b) Un chasseur vise un lapin et le tire.
c) On extrait d’un paquet de 52 cartes à jouer, une carte dont on observe la valeur et la couleur.
d) Parmi un ensemble de 10 000 personnes de 40 ans, on observe le nombre de personnes encore en vie à 60 ans.
Dans toutes ces expériences, notre connaissance n’est pas suffisamment précise pour nous permettre des prédictions exactes quant aux résultats de nos observations, même si nous prenons le plus grand soin pour garder sous contrôle les différentes conditions dans lesquelles se déroulent ces expériences.
Le résultat peut être différent d’une observation à une autre.
Nous dirons dans ce cas que nous nous trouvons en présence d’expériences aléatoires Contre – exemple :
Les observations annuelles des éclipses du soleil visibles d’un certain observatoire nous permettent de prédire, sur la base des calculs astronomiques, la valeur exacte de leur nombre.
Une prédiction semblable peut être faite pour chaque expérience dont on connaît exactement la loi régissant le phénomène observé.
2. L’univers des possibles ou catégorie d’épreuve
C’est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience donnée. Notation: Ω
Exemples :
a) On jette un dé et on note le point obtenu.
On s’est livré à une expérience aléatoire c.à.d. à une expérience dont on ne peut prévoir le résultat.
Il y a 6 résultats possibles ou 6 issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Donc, Ω= 1, 2, 3, 4, 5, 6 et Ω = 6
b) On lance une pièce de monnaie non truquée
Ω= { }et Ω =…
c) On lance 2 pièces de monnaie non truquées
Ω= { }et Ω =…
d) On lance 2 dés non truqués et on observe la somme des points obtenus
Ω= { } et Ω =…
e) Une urne contient 5 tickets numérotés de 1 à 5.
On y prélève 3 tickets que l’on dispose par ordre croissant.
Ω= { } et Ω =
f) On écrit au hasard un nombre à deux chiffres, en choisissant ces chiffres dans l'ensemble {1 ; 2 ; 3}.
Ω= { } et Ω =
c. On lance un dé dont une face porte un 6, deux faces un 1 et trois faces un 2.
Ω= { } et Ω =
d. Dans un tiroir, on a placé 2 paires de chaussettes rouges (R), et 3 paires de chaussettes bleues (B).
Dans l’obscurité, on choisit au hasard une paire de chaussettes.
Ω= { } et Ω =
e. Dans un tiroir, on a placé 2 paires de chaussettes rouges (R), et 3 paires de chaussettes bleues (B).
Dans l’obscurité, on choisit au hasard deux paires de chaussettes.
Ω= { } et Ω =
f. Dans un tiroir, on a placé 2 paires de chaussettes rouges (R), 1 paire de chaussettes jaunes (J) et 3 paires de chaussettes bleues (B). Dans l’obscurité, on choisit au hasard une paire de chaussettes.
Ω= { } et Ω =
g. Dans un tiroir, on a placé 2 paires de chaussettes rouges (R), 1 paire de chaussettes jaunes (J) et 3 paires de chaussettes bleues (B). Dans l’obscurité, on choisit au hasard deux paires de chaussettes.
Ω= { } et Ω =
h. Dans un tiroir, on a placé 2 paires de chaussettes rouges (R), 1 paire de chaussettes jaunes (J) et 3 paires de chaussettes bleues (B). Dans l’obscurité, on choisit au hasard trois paires de chaussettes.
Ω= { } et Ω =
3. Evénement
Un événement est une partie de la catégorie d’épreuve Ω
Exemple : On jette un dé non truqué et on observe le point obtenu
A : “le résultat est pair “ A = ...
B : “ le résultat est impair “ B = ... C : “ le résultat est inférieur ou égal à 3 “ C = ... D : “ le résultat est un nombre premier “ D = ………..
!! Un nombre premier est un nombre dont l’ensemble des diviseurs est une paire donc………..
E : “ le résultat est un multiple de 3 “ E = ... F : “ le résultat est un nombre au moins égal à 4 “ F = {...}
H : “ le résultat est 3 “ H = { ………. }
Les 6 résultats possibles dans le cas du jet d’un dé sont appelés les événements élémentaires.
On peut combiner les différents événements en utilisant les notations ensemblistes.
1) A B : événement dans lequel A est réalisé ou B est réalisé A B :” le résultat est pair ou impair “
A B = Ω
A D :” le résultat est pair ou le résultat est un nombre premier “ A D = ……….
F A : “ obtenir un résultat pair ou un résultat au moins égal à 4 “ F A = { ...}
Le “ ou “ qui correspond à la réunion de 2 ensembles est un “ ou inclusif “ que l’on retrouve parfois écrit “ et / ou “
2) C D : événement dans lequel C est réalisé et D est réalisé
C D : “ le résultat est inférieur ou égal à 3 et le résultat est un nombre premier “ C D = ………..
F A : “ le résultat est pair et le résultat est un nombre au moins égal à 4 “ F A = { ...}
A B : “ ...”
A B = { ...}
F H : “ ...”
F H = { ...}
3) Le complémentaire ou contraire de A sera noté A
A est l’évènement dans lequel A n’est pas réalisé. Si A est un évènement, alors A est formé de tous les éléments de qui n’appartiennent pas à A.
Si A = { 2, 4, 6 } alors = A ………
On remarque que A A = et A A =
A A
Si E = { 3, 6 } alors E = ... Si D = { 2, 3, 5 } alors D = { ...}
Si H = { 3 } alors H = { ...}
4) G :” le résultat est un multiple de 3 inférieur à 2 “ G = ... et G=………
Remarques :
1) est l’évènement impossible 2) est l’évènement certain
3) si A B = on dit que les évènements A et B s’excluent mutuellement.
A et B sont incompatibles ou disjoints; ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
A
B
4. Utilisation du vocabulaire des probabilités
EXERCICE 1
On met quinze jetons numérotés de 1 à 15 dans un sac, et on tire au hasard un seul jeton. On considère les événements suivants :
A « le jeton tiré porte un nombre pair »
B « le jeton tiré porte un nombre multiple de 3 »
Ecrire sous forme d’ensembles les événements suivants :
A = { }
B = { }
A = { }
B = { }
A B = { }
A B = { }
A B = { }
A B = { }
A B = { }
A B = { }
EXERCICE 2
Pour chacune des expériences aléatoires suivantes, on demande de citer :
Un événement élémentaire
Un événement comportant plusieurs éventualités ;
Un événement certain ;
Un événement impossible.
a. On choisit au hasard et simultanément deux stylos parmi quatre stylos de couleur rouge, verte, noire et bleue.
:
:
:
:
b. Un singe tape successivement sur deux touches de chiffres d'une calculatrice. On note le nombre ainsi obtenu.
:
:
:
:
c. Dans une urne, il y a 2 boules vertes et 3 boules rouges. On tire 3 boules sans remise.
:
:
:
:
d. Dans une urne, il y a 2 boules vertes et 3 boules rouges. On tire 3 boules, avec remise de la boule tirée après chaque tirage.
:
:
:
:
EXERCICE 3
Au départ d’une course, un pilote a le choix entre des pneumatiques de deux fabricants, A et B.
Le fabricant A propose :
5 types de pneus pour piste sèche : Qualif (P1), ExtraSoft (P2), Soft (P3), Medium (P4), Hard (P5) 2 types de pneus pour piste humide : Soft Rain (P6), Hard Rain (P7)
Le fabricant B propose :
3 types de pneus pour piste sèche : Soft (P8), Medium (P9), Hard (P10)
3 types de pneus pour piste humide : Soft Rain (P11), Medium Rain (P12), Hard Rain (P13).
a. Ecrire sous forme d’ensemble l’univers :
b. Ecrire sous forme d’ensemble les événements : A = « Le pilote choisit des pneus du fabricant A » :
B = « Le pilote choisit des pneus du fabricant B » :
S = « Le pilote choisit des pneus pour piste sèche » :
R = « Le pilote choisit des pneus pour piste humide » :
H = « Le pilote choisit des pneus durs (pour piste sèche ou humide) » :
c. Ecrire à l’aide des évenements A, B, S, R, H, de leurs contraires, de et :
« Le pilote ne choisit pas de pneus durs » :
« Le pilote choisit des pneus durs du fabricant A » :
« Le pilote choisit des pneus durs, ou pour piste humide » :
« Le pilote choisit des pneus pour piste humide, mais pas durs » :
« Le pilote choisit des pneus ni pour piste humide, ni du fabricant B » :
EXERCICE 4
On tire au hasard une carte parmi un jeu de 32 et on considère les événements suivants : T : « Tirer un trèfle »
K : « Tirer un carreau » C : « Tirer un cœur » P : « Tirer un pique » A : « Tirer une figure » R : « Tirer un roi » V : « Tirer un valet »
a. Traduire par une phrase les événements R K :
C A :
P R :
P C :
b. Traduire, en utilisant des intersections () ou réunion () les événements :
« La carte tirée est un carreau ou un pique » :
« La carte tirée est le roi de pique » :
« La carte tirée est une figure à cœur » :
c. Traduire par une phrase les événements : A :
K :
R P : T P :
V P :
A P :
d. A l'aide des événements A, R, T, K, C et P, exprimer mathématiquement les événements suivants : « La carte tirée n'est pas un roi » :
« La carte tirée n'est pas un pique » :
« La carte tirée est un roi différent du roi de pique » : « La carte tirée n'est ni un pique ni un valet » :
EXERCICE 5
5. Approche intuitive de la notion de probabilité
Nous avons appris jusqu’à présent à décrire un événement en faisant appel au langage des ensembles et à la logique.
Au cours d’une expérience aléatoire, la réalisation d’un événement déterminé étant incertaine, il s’agit maintenant de caractériser le “degré de certitude” des événements.
A chaque événement on associera un nombre : sa probabilité Examinons l’exemple suivant :
Dans un lot de graines, certaines sont parasitées, les autres sont saines.
On y prélève une graine et on vérifie si elle est parasitée ou non.
Le fait de trouver une graine parasitée est un événement associé à cette expérience.
Répétons cette expérience n fois.
Si x désigne le nombre de graines parasitées trouvées après n prélèvements, la fréquence de l’évènement “ trouver une graine parasitée “ est le rapport entre le nombre de réalisations de cet évènement et le nombre de répétitions de l’expérience:
x f = --- n Nous obtenons les résultats suivants :
n x f=x/n n x f=x/n n x f=x/n n x f=x/n
1 0 0 13 5 .385 45 14 .311 250 99 .396
2 1 0.500 14 6 .429 50 17 .340 300 121 .403
3 2 .667 15 6 .400 60 23 .383 350 144 411
4 2 .500 16 7 .438 70 28 .400 400 170 .425
5 2 .400 17 7 .412 80 31 .388 450 190 422
6 2 .330 18 7 .389 90 33 .367 500 211 .422
7 3 .429 19 7 .368 100 36 .360 600 251 .413
8 4 .500 20 7 .350 120 43 .358 700 293 .419
9 5 .556 25 8 .320 140 48 343 800 328 .41
10 5 .500 30 9 .300 160 58 363 900 365 .406
11 5 .455 35 11 .314 180 68 378 1000 404 .404
12 5 .417 40 11 .275 200 75 375
Si nous représentons les variations de la fréquence en fonction de x, nous obtenons le diagramme :
Nous constatons que la fréquence varie sensiblement pour de petites valeurs de n, mais que les variations s’atténuent lorsque n augmente. La fréquence a tendance à se stabiliser aux environs de 0,4.
Ce phénomène est connu sous le nom de régularité statistique.
On a donc, dans ce cas, approximativement 4 chances sur 10 de prélever une graine parasitée.
Nous dirons que la probabilité de l’événement “ prélever une graine parasitée” est 0,4.
Ceci nous permet de postuler, pour tout événement aléatoire, l’existence d’un nombre fixe dont la fréquence de l’événement a tendance à s’approcher : ce nombre est la probabilité de l’événement considéré.
Etudions une autre expérience aléatoire : le jet d’un dé à 6 faces
Après un grand nombre de jets, on constate que la fréquence de l’événement “ obtenir 5 “ est voisine de 1/6. Cela ne signifie pas qu’en lançant 6 fois le dé nous obtiendrons une fois le point 5, mais que lors d’un grand nombre de jets, le point 5 apparait en moyenne une fois sur 6, si les conditions de l’expérience restent constantes au cours des différents jets. Nous dirons que la probabilité de l’événement A:”obtenir la face 5” est 1/6.
Voici un tableau avec les résultats des tirages:
6. Axiomes du calcul des probabilités
Etant donné une catégorie d’épreuves , on associe à chaque événement un réel qui doit répondre aux conditions suivantes:
On définit ainsi une fonction que l’on va désigner par p : R : A p ( A ) 1) 0 p (A ) 1
2) p ( ) = 1
3) Si A et B sont des événements qui s’excluent mutuellement ( A B = ), alors la probabilité de p ( A B ) = p ( A ) + p ( B )
Exemple : On jette un dé non truqué, on note le point obtenu F : “ le résultat est un nombre < 3 “
F = ………
p ( F ) = ……….
G : “ le résultat est un nombre > 4 “ G = ………
p ( G ) = ……….
F G = ……… p ( F G ) = 2 / 3 = p ( F ) + p ( G ) Exercice :
On jette une pièce de monnaie 3 fois et on observe la suite de piles et de faces obtenue.
1) Décrire à l’aide d’un arbre.
2) A est l’événement correspondant à l’apparition consécutive de 2 faces ou plus.
3) B est l’événement correspondant à l’apparition consécutive de 2 piles ou plus.
Déterminer A B
7. Théorèmes fondamentaux
a) Si est l’événement impossible alors p ( ) = 0 en effet =
p ( ) = p ( ) + p ( )
= 1 + p ( )
p ( ) = 1 + p ( ) 1 = 1 + p ( ) p ( ) = 0
b) Si A est le complémentaire de A alors la probabilité de A est p ( A ) = 1 – p ( A )
en effet A A =
p ( A A ) = p ( A ) + p ( A ) p ( ) = p ( A ) + p ( A ) 1 = p ( A ) + p ( A ) p ( A ) = 1 – p ( A )
c) Si A et B sont 2 événements quelconques alors p ( A B ) = p ( A ) + p ( B ) – p ( A B ) Exemple :
On lance un dé truqué tel que la probabilité d’apparition des faces 1 à 5 est 1 / 7 et la probabilité d’apparition de la face 6 est 2 / 7
On considère les événements suivants :
A: ” le résultat est un nombre au moins égal à 4 “ B : “ le résultat est un multiple de 2 “
Calculer p ( A ) =
Calculer p ( B ) =
Déterminer A B
Calculer p ( A B )
Calculer p ( A B )
Autre méthode
Déterminer A B : “ ...”
Calculer p ( A B ) =
d) Si A et B sont 2 événements indépendants alors p ( A B ) = p ( A ) . p ( B )
( 2 événements sont indépendants si il y a non-influence d’un résultat sur l’autre )
Cette règle s’appelle la règle de la multiplication Remarque :
Il n’est pas toujours aisé de déterminer si 2 évènements sont indépendants à la simple lecture de leur description. S’il est possible de calculer facilement p(A), p(B) et p(A B), la formule permet alors de conclure à l’indépendance ou non de ces 2 évènements.
Dans certains cas, l’indépendance de 2 événements est évidente.
Cette formule permet alors tout simplement de calculer l’une ou l’autre des probabilités y apparaissant.
Exemple:
Une urne contient 6 jetons rouges et 4 blancs. On tire successivement 2 jetons sans remettre le 1er jeton avant d’effectuer le 2ieme tirage. La probabilité que le second jeton soit rouge ou soit blanc dépend du premier tirage. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 jetons rouges ?
Pour résoudre ce genre d’exercice, on effectue une arborescence sur laquelle on note les différentes probabilités.
On parle « d’arbre pondéré ». On emprunte le chemin qui correspond à l’événement à réaliser.
Décrire à l’aide d’un arbre pondéré R R
B
R B
B
Chaque branche a une probabilité.
La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
La probabilité d’un événement correspondant a un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin.
Remarque :
a) la somme des probabilités situées sur les branches issues d’un même nœud vaut 1 b) le chemin qui correspond à notre événement est
le chemin RR
c) p(RR) = 6/10 . 5/9 = 1/3
Application :
On considère 3 événements A, B et C d’un même univers tels que
p( A ) = 0,3 p( B ) = 0,4 p( C ) = 0,7
p( A C ) = 0,2 p( B C ) = 0,7 p( A B ) = 0,7 a) Faire un diagramme
b) Les événements A et B sont incompatibles. Vrai ou faux ?
c) Si B est réalisé alors C est réalisé. Vrai ou faux ?
d) Calculer P ( B C ) = P( A C) = P( A C ) = P( A C ) =
e) Calculer P( A C) = P( C B ) =
P( A C ) =
P(C B ) = P( A B ) =
f) Calculer P( C B ) =
P( A B ) =
P(C B ) =
8. Ensembles probabilisés finis
= a1, a2, a3,a4…., an est dit probabilisé lorsqu’à chacun des ai on associe un réel pi appelé probabilité de ai de telle sorte que
1) tous les pi 0
2) p1 + p2 + p3 + ……… + pn = 1
Exemple 1:
Trois chevaux A, B, C participent à une course.
A a 2 fois plus de chances que B de gagner.
B a 2 fois plus de chances que C de gagner.
Quelles sont les probabilités respectives de gagner des 3 chevaux ?
Exemple 2 :
On considère = a1, a2, a3, a4
L’ensemble est- il probabilisé dans les conditions suivantes : 1) p ( a1 ) = ½ p ( a2 ) = 1/3 p ( a3 ) = ¼ p ( a4 ) = ¼
2) p ( a1 ) = ½ p ( a2 ) = 1/4 p ( a3 ) = -¼ p ( a4 ) = ½
3) p ( a1 ) = ½ p ( a2 ) = 1/4 p ( a3 ) = 1/8 p ( a4 ) = 1/8
4) p ( a1 ) = ½ p ( a2 ) = 1/4 p ( a3 ) = ¼ p ( a4 ) = 0
Exemple 3 : Soit = a1, a2, a3, a4
a) Calculer p ( a1 ) si p ( a2 ) = 1/3 p ( a3 ) = 1/6 p ( a4 ) = 1/9
b) Calculer p ( a1 ) et p ( a2 ) si p ( a3 ) = p ( a4 ) = ¼ et p ( a1 ) = 2 p (a2 )
Exemple 4 :
Un dé est truqué pour que le chiffre 6 apparaisse 2 fois plus que les autres nombres, ces derniers ayant la même chance d’apparaître.
Calculer la probabilité des événements élémentaires.
Calculer la probabilité de l’événement A : “ le résultat est un nombre au moins égal à 4 “.
Exemple 5 :
Un dé est truqué tel que les faces 2, 3, 4 et 5 aient la même probabilité d’apparition.
La face 6 a une probabilité d’apparition double de celle de la face 3.
La face 1 a une probabilité d’apparition moitié de celle de la face 2 Calculer la probabilité d’apparition de chacune des faces.
Calculer la probabilité d’obtenir un résultat pair.
9. Ensembles finis équiprobables
C’est un ensemble fini probabilisé dans lequel chaque événement élémentaire a la même probabilité d’arriver
Exemple 1: Le jet d’un dé bien équilibré
= ………
p ( 1 ) = p ( 2 ) = p ( 3 ) = p ( 4 ) = p ( 5 ) = p ( 6 ) = ………..
A:” le numéro est impair “ donc A = ……….….. 3 Nombre de cas favorables
p ( A ) = ----
6 Nombre de cas possibles
Nombre de cas favorables p ( A ) = ---
Nombre de cas possibles
B:” le numéro est au moins égal à 4 “ donc B = { ...}
p( B ) = ...
C :” le numéro est un nombre premier “ donc C = { ...}
p( C ) = ...
D: “ le numéro est un multiple de 2 strictement supérieur à 4 “ donc D = { ...}
p( D ) = ...
Exemple 2 : Tirer une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes A :” la carte est un pique “
B : “ la carte est une image “ C : “ la carte est le roi de pique “ D : “ la carte est rouge “
p ( A ) = ...
p ( B ) =...
p ( A B ) = p ( A ) + p ( B ) – p ( A B ) = ...
= ...
p( C ) = ...
p( D ) = ...
10. Les différents outils pour dénombrer
Les arbres
L’utilité première des arbres est le dénombrement.
En effet lorsque l’on représente une arborescence correspondant à une épreuve, cela nous permet d’envisager et de compter TOUS les cas possibles et par la suite, de considérer l’ensemble des « cas » qui conviennent pour réaliser l’évènement considéré.
Exemple 1 :
On dispose de 3 jetons numérotés de 1 à 3, on extrait successivement et au hasard les 3 jetons.
Quels sont les différents résultats possibles ?
On pourrait envisager l’évènement A : « les nombres 1 et 3 se suivent »
Cas possibles : Cas favorables : p(A) =……….
Exemple 2 :
Considérons les 4 as d’un jeu de cartes, mélangeons-les et déposons les cartes sur la table ensuite retournons-les. Combien y a-t-il de dispositions différentes ? Autrement dit « dans quel ordre peuvent- ils apparaître ? »
Il y a 24 dispositions différentes possibles.
Exemple 3 :
On forme un nombre de 3 chiffres avec les chiffres 1, 2, 3. sans autre précision.
Faire un arbre
Calculer la probabilité d’obtenir
a) un nombre composé des 3 mêmes chiffres
b) un nombre composé de 3 chiffres différents
c) un nombre ayant le même chiffre des unités et des dizaines
d) un nombre ayant exactement 2 chiffres semblables
e) un nombre ayant au moins 2 chiffres semblables
f) un nombre ayant au plus 2 chiffres semblables
g) un nombre comportant le chiffre 3 ou le chiffre 2
Les tableaux à double entrée
Les tableaux à double entrée constituent aussi de très bons outils de dénombrement.
Exemple :
L’école dispose d’équipements de couleurs différentes pour organiser les tournois sportifs : des shorts rouges, bleus, blancs, noirs et verts. Des T-shirts blancs, jaunes, oranges et rouges.
Combien de tenues différentes peut-on former avec ces équipements ?
Short/T-shirt rouge bleu blanc noir vert
Rouge Rr Rb
Orange Jaune Blanc
Les diagrammes de Venn
Exemple : Dans un groupe de 100 élèves
37 ont choisi l’option art
42 l’option musique
12 élèves ont choisi les 2 options Compléter le diagramme de Venn ci-dessous.
Combien d’élèves ont choisi l’option art mais pas l’option dessin ?
Combien d’élèves ont choisi l’une des 2 options au moins ?
Combien d’élèves n’ont choisi aucune des 2 options ?
EXERCICE 6 :
Dans une école secondaire, les élèves ont le choix entre 3 langues : anglais (A), néerlandais (N) et espagnol (E)
Parmi les 80 élèves de cinquième année, 20 ont pris seulement une langue : 10 l’anglais, 3 le néerlandais et 7 l’espagnol
Quarante élèves ont choisi deux langues :
22 l’anglais et le néerlandais, 17 l’anglais et l’espagnol et 1 le néerlandais et l’espagnol Enfin, 20 élèves ont choisi les trois langues l’anglais, le néerlandais et l’espagnol On définit les évènements suivants :
A = « un élève étudie l’anglais » N= « un élève étudie le néerlandais » E= « un élève étudie l’espagnol »
Compléter le diagramme de Venn puis calculer les probabilités suivantes
A N
E
p ( A ) = p( A ) =
P ( N ) = P (N) =
P ( E ) = P (E ) =
P (A N E ) =
P ( A E ) =
P ( A N ) =
P (A ( E N)) =
P ( A E ) =
EXERCICE 7 :
Au cours d’un référendum, deux questions sont posées. Sur 100 bulletins :
65 ont coché OUI à la première question
5 ont coché OUI seulement à la seconde question
46 ont coché OUI aux deux questions
Traduire ces informations dans le diagramme ci-contre.
Combien de bulletins comportent au moins un OUI ?
EXERCICE 8 :
Dans une classe de 36 élèves, 30 d’entre eux sont allés à l’étranger, dont 16 en Angleterre, 10 aux Etats-Unis et 4 dans ces deux pays.
Combien d’élèves sont allés à l’étranger en dehors de ces 2 pays ?
EXERCICE 9 :
On a étudié la population active d’une ville suivant 3 critères.
né dans la ville
travaillant dans la ville
utilisant les transports en commun
On a obtenu le diagramme ci-contre pour 1200 personnes 1) Interpréter le nombre 415 par une phrase
2) Interpréter le nombre 57 par une phrase
3) Calculer le nombre de personnes n’ayant aucun de ces trois critères
On choisit une personne au hasard.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants A : « la personne choisie utilise les transports en commun »
B : « la personne choisie n’utilise pas les transports en commun »
C : « la personne choisie est née dans la ville et n’utilise pas les transports en commun »
D : « la personne choisie utilise les transports en commun ou travaille dans la ville »
E : «la personne choisie parmi celles travaillant dans la ville n’utilise pas les transports en commun »
RESUME I. VOCABULAIRE
a. Expérience aléatoire
C’est une expérience (ou épreuve) dont on connaît parfaitement les conditions de déroulement mais dont les résultats dépendent du hasard. Exemple : Lancer un dé à 6 faces non pipé constitue une expérience aléatoire.
b. Univers
C’est l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire. On le note . Exemple : = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }.
c. Evénement
C’est une partie de l’univers. Si cette partie ne contient qu’un seul élément, on parle d’événement élémentaire.
Exemple : A = « J’obtiens un nombre pair » = { 2 ; 4 ; 6 }.
= événement impossible.
= { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } = événement certain.
d. Evénements incompatibles
Deux événements n’ayant aucun élément en commun sont dits incompatibles (ou disjoints).
Exemple : A = « J’obtiens un nombre pair » et B = « J’obtiens un nombre impair » sont incompatibles.
e. Evénement contraire
Si A est un événement, on note A l’événement contraire de A formé de tous les éléments de qui n’appartiennent pas à A.
Exemple : Si A = { 3 } alors A = { 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 }.
f. Intersection d’événements : « A et B »
Si A et B sont deux événements, on note A B (A inter B ) l’ensemble de tous les éléments qui appartiennent à la fois à A et B.
Exemple : Si A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } et B = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 } alors A B = { 3 ; 4 }.
g. Union d’événements : « A ou B »
Si A et B sont deux événements, on note A B (« A union B ») l’ensemble de tous les éléments qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux à la fois). Exemple : Si A = { 2 ; 4 ; 6 } et B = { 4 ; 5 ; 6 } alors A B = { 2 ; 4 ; 5 ; 6 }.
II.PROBABILITES SUR LES ENSEMBLES FINIS
On ne s’intéresse ici qu’à des expériences ayant un nombre fini de résultats possibles.
Donc a aussi un nombre fini d’éléments (et à fortiori tous les événements, qui sont des parties de ). On peut donc les compter.
a. Probabilité
A chaque événement A on associe un nombre appelé probabilité de A, noté P(A) tel que :
0 P(A) 1 P() = 1 P() = 0
b. Propriétés
Soit A et B deux événements :
P( A ) = 1 – P(A) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
Remarque :
Si A et B sont incompatibles, alors A B = , donc P(A B) = 0 et donc P(A B) = P(A) + P(B)
III.EQUIPROBABILITÉ
On dit qu’il y a équiprobabilité si tous les événements élémentaires qui constituent l’univers ont la même probabilité.
Dans ce cas, on a :
P(A) = nombre d'éléments de A nombre d'éléments de
Exemple : Si = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } alors P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1 6.
A B
A B
