exp ω et

Réflexion métallique d’une onde plane polarisée rectilignement.

Une O.P.P.M.R. de pulsation

ω

, se propage dans le vide suivant le vecteur d’onde k , tombe sur un plan parfaitement conducteur avec un angle d’incidence différent de π/ 2. Son champ électrique est contenu dans le plan d’incidence. On admet l’existence d’une O.P.P.M.R. réfléchie et on se propose d’établir ses propriétés en utilisant les équations de continuité des champs à la traversée du plan.

1. Déterminer la pulsation de l’onde et le module de son vecteur d’onde 2. Déterminer sa direction de propagation

3. Montrer que son champ électrique est contenu dans le plan d’incidence ; déterminer son champ magnétique en fonction de celui de l’onde incidente.

4. Déterminer les densités superficielles de charge et de courant à la surface du conducteur.

1. Appelons E ^et B les champs électrique et magnétique de l’onde incidente. E′ ^et B′

ceux de l’onde réfléchie de vecteur d’onde k′. On peut écrire en représentation complexe

( )

^{' '}

(

^{' '}

)

0

exp ω et

0

exp ω

= − ⋅ = − ⋅

E E j t k r E E j t k r

D’après les propriétés générales des ondes planes, les champs magnétiques sont :

'

' '

et .

= k ∧ = k ∧

B E B E

c c

Le champ électrique et le champ magnétique sont nuls à l’intérieur du conducteur parfait et les relations de continuité entre le vide et ce milieu s’écrivent, en désignant par x ^le vecteur unitaire normal au plan conducteur orienté vers le conducteur.

(

^'

)

0

(1) = σ pour 0

− E_x+E_x ε x=

(

^'

)

_t

(2) E+E = 0 ou encore

( ) ( )

' ' '

0 0 0 0

(2 ) E +E −x E _x+E _x = 0

' '

0 0

(3) B_x+B_x= 0 pour x=0 ou encore B _x+B _x=0

(

^'

)

_t ⁰

(4) B+B = µ x∧ j_S

Soit, compte tenu de (3),

'

(4 ') B+B=

µ

0x∧ j_S pour x=0

Dans ces relations les champs sont considérés en un point du plan de séparation entre les deux milieux ;

σ

et jS sont les densités superficielles de charge et de courant en un tel point (Fig. 1).

Prenons l’origine des coordonnées sur le plan ; en ce point (2) et (3) fournissent au moins une relation de la forme

( ) ( )

^'

(5) exp λ j ω t + µ exp j ω t = 0

λ ^et µ étant deux coefficients dépendant des amplitudes des champs. Cette relation ne peut être vérifiée à chaque instant que si :

ω ω

= ^'

On en déduit

'

'

ω

=

ω

=

=

k k

c c

2. Une relation telle que (2) ou (3) s’écrit en tout point du plan de séparation et à chaque instant

( ) ( )

' ' '

exp exp 0

λ j ω t − ⋅ k r + µ j ω t − k ⋅ r =

Ceci implique en tout point de ce plan la relation

⋅ = '⋅ k r k r Si on exclut la solution k^'=k qui ne peut correspondre à une onde réfléchie, on voit que le vecteur k^'−k est perpendiculaire au plan conducteur. Le vecteur d’onde réfléchie est donc contenu dans le plan d’incidence et les directions de propagation des deux ondes sont symétriques par rapport au plan conducteur (Fig. 2)

conformément à la loi de Descartes.

3. E étant dans le plan d’incidence, B est perpendiculaire à ce plan et :

0_x =0

B Alors (3) entraîne

i

Fig. 2.

k'

B

k

x

E B'

E'

y Fig. 1.

B k

x

E z y

'

0_x=0

B

'

B0x perpendiculaire à k (transversalité de l’onde réfléchie) et à x est donc

perpendiculaire au plan d’incidence. E0^'x perpendiculaire à B0x^' , est situé dans ce plan.

D’après les propriétés des ondes planes monochromatiques,

'

' '

0

= k ∧

0

et

0

= k ∧

0

.

B E B E

c c

D’où l’on tire, compte tenu de k^{' 2} =k² =ω²/c^{2 :}

' ' '

0

ω

2 0

et

0

ω

2 0

.

= − ∧ = − ∧

E k B E k B

k k

( B

⁰

⊥ E

⁰

⊥ k k

²

norme au carré de et k k

^'

)

(2) peut s’écrire

(

^{0 0'}

) ⁰

∧ + =

x E E

Soit :

(

^{0 ' 0'}

) ⁰

∧ ∧ + ∧ =

x k B k B

( )

( ^{x ∧ k ∧ B}

⁰

^{= x B ⋅}

⁰

^{⋅ − ⋅ ⋅ k x k B}

⁰

^{et x B ⋅}

⁰

^{= 0} )

Comme B0_x=B0^'_x =0 _{il vient}

Si i est l’angle d’incidence, différent de π/ 2 pour qu’il y est une véritable incidence, on a (Fig. 2)

sin

'

sin

⋅ = ⋅ = −

x k k i x k k i

Et on tire

'

0

=

0

B B

On en déduit en tout point du vide

' '

2 0

ω exp ( )

ω

= − ∧ − ⋅

E k B j t k r

c

4. En ce point du plan de séparation, on a E_x+E_x^' = −σ ε/ 0 _et

( )

' '

2 0

exp ( )

ω ^{ } ω

+ = −  + ∧  − ⋅

x x

E E x k k B j t k r

c

(où r désigne un, point du plan de séparation) En remarquant que k +k^'=2 sin et k i y B0 =B z0 _,

'

2sin

0

exp ( )

ω ω

+ = − − ⋅

x x

E E iB j t k r

k

D’où :

0 0

2 sin exp ( )

σ = ε c iB j ω t − ⋅ k r

(4’) conduit de manière évidente à :

0 0

2 exp ( ω )

= − µ ∧ − ⋅

j

S

x B j t k r

( ^B

⁰

^{⊥ j}

^S

^{⊥ x et x}

²

^{= 1} )

Remarque : Si l’incidence est normale, il n’y a pas de plan d’incidence défini. Les conclusions de la question 3 subsistent.